Gebrochenrationale Funktion

  • Gegeben sind die folgenden Funktionen mit jeweils maximaler Definitionsmenge:

    \[p\,\colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1}\]

    \[q\,\colon x \mapsto \sqrt{x - 1}\]

    \[r\,\colon x \mapsto \ln (x - 1)\]

    Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

    (5 BE)

  • Betrachtet werden die folgenden Funktionsterme mit \(r,s \in \mathbb N\):

    \(e(x) = \sqrt{x - r} \qquad \qquad  \\ \)\(f(x) = \ln x \qquad \qquad \\ \)\(\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x} + s\)

    Jeder der Terme beschreibt genau einen der folgenden Funktionsgraphen I,II und III. Ordnen Sie die Terme den Graphen zu und geben Sie die Werte der Parameter \(r\) und \(s\) an; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

    Graph I

    Graph II

    Graph III

    (5 BE)

  • Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion \(c\) an, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

    - Der Graph von \(c\) berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 1\);

    - die Funktion \(c\) hat die Polstelle \(x = 3\).

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

    Abbildung zu Teilaufgabe 1a

    Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

    (5 BE)

  • Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms \(t(x)\) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt.

    (3 BE)

  • Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass \(t(x)\) für \(0 < x < 5\) nicht als Gesamtfahrzeit interpretiert werden kann.

    (2 BE)

  • Zeigen Sie, dass die Terme \(f(x)\) und \(t(x)\) äquivalent sind.

    (2 BE)

  • Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrzeit von vier Stunden.

    (5 BE)

  • Die Funktion \(k\) hat in \(x = 2\) eine Nullstelle und in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote. 

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3}\) und Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\). Dr Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

    \(\displaystyle \frac{2}{(x + 1)(x + 3)}\); \(\displaystyle \frac{2}{x^2 + 4x + 3}\); \(\displaystyle \frac{1}{0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5}\) 

    (4 BE)

  • Begründen Sie, dass die \(x\)-Achse horizontale Asymptote von \(G_{f}\) ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_{f}\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse.

    (3 BE)

  • Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p \colon x \mapsto 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5\), die die Nullstellen \(x = -3\) und \(x = -1\) hat.

    Für \(x \in D_{f}\) gilt \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{p(x)}\).

    Abbildung 1 zu Teilaufgabe 1c Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 1

    Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung \(f'\) und \(p'\) die Beziehung \(\displaystyle f'(x) = -\frac{p'(x)}{\big( p(x) \big)^2}\) für \(x \in D_{f}\).

    Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von \(f'(x)\) und \(p'(x)\), dass \(x = -2\) einzige Nullstelle von \(f'\) ist und dass \(G_{f}\) in \(]-3;-2[\) streng monoton steigend sowie in \(]-2;1[\) streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\) an.

    (5 BE)

  • Berechnen Sie \(f(-5)\) und \(f(-1{,}5)\) und skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

    (4 BE)

  • Die in \(\mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\) definierte Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 3 \cdot \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\) stellt im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 2\) eine gute Näherung für die Funktion \(h\) dar.

    Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion \(k\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 hervorgeht.

    (2 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

    Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.

    (2 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen an.

    (3 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zum Term \(x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden \(g\) mit der Gleichung \(y = x + 7\) für \(G_{f}\) an.

    (3 BE)

  • Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

    \[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]

    \[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\]

     

    (4 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:

    (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

    (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

    (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

    (5 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:

    (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

    (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

    (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

    (5 BE)

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