Gebrochenrationale Funktion

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\).

    Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an.

    (2 BE) 

  • Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_k\) mit \(h_k(x) = (x - 3)^k + 1\) und \(k \in \{1;2;3;\dots\}\).

    Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) das Verhalten von \(h_k\) für \(x \to -\infty\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

    (3 BE) 

  • Die Funktion \(g\) hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\):

    \[\textsf{I}\enspace y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

    \[\textsf{II}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]

    \[\textsf{III}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

    Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von \(g\) infrage kommt.

    Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).

    (5 BE)

  • Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion an.

    \[g(x)= \frac{3}{x^2 - 1}\]

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).

    (3 BE)

  • Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion \(f\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R \backslash \{-1\}\) an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung \(y = 2\) als Asymptote besitzt und in \(x = -1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

    (3 BE)

  • Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften:

    • Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;

    • \(G_g\) verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) gegeben ist;

    • die einzige Nullstelle von \(g\) ist \(x = -1\).

    Abbildung 2, Teilaufgabe 2a, Graph der gebrochen-rationalen Funktion g Abb. 2

    Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung \(g'\) von \(g\) an der Stelle \(x = -1\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

    Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung \(g'\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\). Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von \(g'\) in Abbildung 2.

    (6 BE)

  • Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.

    (5 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{2x + 3}{4x + 5}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Geben Sie \(D\) an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung \(f'\) von \(f\).

    (4 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R \backslash \{-1\} \).

    Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

    Abbildung 2Abb. 2

    Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von \(G_f\) an und zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.

    (6 BE)

  • Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\,\).

    (8 BE)

  • Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

    Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_f\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

    (Teilergebnis: \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{8}{x}\))

    (6 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

    Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

    (8 BE)

  • Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts \(S\) von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm.

    Die bisher betrachtete Funktion \(f\) gibt für \(0 \leq x \leq 15\) die Höhe von \(S\) über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist \(x\) die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3).

    Abbildung 3

    Abb. 3

     

    Berechnen Sie \(f(0)\) und \(f(15)\). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.

    (3 BE)

  • Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts \(S\) während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass \(x\)-Koordinate und \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts von \(G_f\) übereinstimmen?

    (3 BE)

  • Für welche Füllhöhen \(x\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.

    (6 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat.

    \(\mathbb W = [-2;2]\)

    (2 BE)

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