Analysis 2

Der Graph der Funktion \(g^{*}\) geht aus \(G_{g}\) durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von \(g^{*}\) ist \(]-1;1[\). Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für \(g^{*}\) an.

(2 BE)

Es wird das Flächenstück zwischen \(G_{g}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(-\ln{3} \leq x \leq b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von \(b\) so. dass die \(y\)-Achse dieses Flächenstück halbiert.

(6 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\).

Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an.

(2 BE)

Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\).

(2 BE)

Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1.

(3 BE)

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{(2x - 3)}\) mit Definitionsmenge \(D_h = \; ]\frac{3}{2};+\infty[\). Geben Sie die Nullstelle von \(h\) sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(h\) an.

(2 BE)

Betrachtet wird die Funktion \(g \colon x \mapsto \ln{\left( f(x) \right)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_g\). Geben Sie \(D_g\) an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle \(x\), für die \(g'(x) = f'(x)\) gilt.

(3 BE)

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\).

Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt.

(1 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist.

(4 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Abb. 1

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

(4 BE) 

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\))

(2 BE)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

(5 BE)

Ist \(g'\) die erste Ableitungsfunktion einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), so gilt bekanntlich \(\displaystyle \int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\).

(3 BE)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\) und für jede reelle Zahl \(w > 2022\) gilt

\[F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)dx\]

(3 BE)

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\).

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von \(a\) an.

(3 BE)

Der Graph der Funktion \(f_0\) ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse an.

(2 BE)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\):

• \(f_a(0) = 0\)
• \(f'_a(0) = f'_0(0)\)
• \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\)

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt. 

(3 BE)

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von \(a\) richtig ist:

Wird der Graph von \(f_a\) mit dem gleichen Faktor \(k > 0\) sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

(3 BE)

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I   Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II  Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein.

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)