Ableitung einer Potenzfunktion
Teilaufgabe 2c
Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.
(4 BE)
Teilaufgabe 1b
Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.
Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.
(zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))
(7 BE)
Teilaufgabe 3b
Zeigen Sie, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(k\) sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\).
(6 BE)
Teilaufgabe 1b
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))
(4 BE)
Teilaufgabe 1b
Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion \(g'\) von \(g\).
(2 BE)
Teilaufgabe 3a
Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto x^{2} + 4\) und \(g_{m} \colon x \mapsto m \cdot x\) mit \(m \in \mathbb R\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) und der Graph von \(g_{m}\) mit \(G_{m}\) bezeichnet.
Skizzieren Sie \(G_{f}\) in einem Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{4}\).
(3 BE)
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto x \cdot \ln{(x^{2})}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{h}\).
Geben Sie \(D_{h}\) an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\).
(2 BE)
Teilaufgabe d
Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\).
Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
(3 BE)
Teilaufgabe b
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).
(5 BE)
Teilaufgabe 3b
Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).
(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))
(3 BE)