Anzeige nach Tag: Abstand zweier Punkte

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(1|4|0)\) und Radius 6.

Bestimmen Sie alle Werte \(p \in \mathbb R\), für die der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel liegt.

(3 BE)

Lösung - Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

 

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 2\sqrt{6 - x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [0;6]\). Der Punkt \(P(x|f(x))\), der Lotfußpunkt \(L(x|0)\) des Lotes von \(P\) auf die \(x\)-Achse und der Koordinatenursprung \(O\) legen das Dreieck \(OLP\) fest.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\), sodass der Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OLP\) maximal ist.

Abbildung zu Klausur Q11/2-004 Aufgabe 3

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

 

Aufgabe 5

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Teilaufgabe 3e

Der Punkt \(R\) aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand \(e\) in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von \(e\).

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Der Punkt \(P\) liegt auf der Kante \([FB]\) des Würfels und hat vom Punkt \(H\) den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts \(P\).

(3 BE)

Teilaufgabe 1a

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\,(0|1|2)\) und \(B\,(2|5|6)\).

Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben.

Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).

(3 BE)

Teilaufgabe c

An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M \left( 0|3\sqrt{2}|2 \right)\) hat.

Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im Punkt \(B\). Im Modell stellt \(B\) den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.

(Teilergebnis: \(B\left( -1|2\sqrt{2}|3 \right)\)) 

(5 BE)

Teilaufgabe 1a

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\,(0|1|2)\) und \(B\,(2|5|6)\).

Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben.

Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).

(3 BE)

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