Analysis 2

Einer der folgenden Terme nähert den Term der in \(\mathbb R \, \backslash \{0\}\) definierten Funktion \(u \,\colon x \mapsto \dfrac{1}{x} + x + 1\) für große Werte von \(x\) am besten. Geben Sie diesen Term an und machen Sie Ihre Antwort plausibel.

\(\textsf{I} \enspace \dfrac{1}{x} \qquad \quad \)\(\textsf{II} \enspace x \qquad \quad \)\(\textsf{III} \enspace x + 1 \qquad \quad \)\(\textsf{IV} \enspace \dfrac{1}{x} + 1 \qquad \quad \)\(\textsf{V} \enspace \dfrac{1}{x} + x\)

(3 BE)

Geben Sie einen möglichen Term der Funktion \(t\) an. Zeigen Sie für dieses \(t\) die Gültigkeit der Aussage aus Aufgabe 3a durch Integration mithilfe einer Stammfunktion.

(4 BE)

Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten integrierbaren Funktion \(t\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Begründen Sie, dass für alle \(a \in \mathbb R\) gilt: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} t(x)\,dx = 0\).

(3 BE)

Gegeben sind die folgenden Funktionen mit jeweils maximaler Definitionsmenge:

Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

(5 BE)

An den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s\,\colon x \mapsto x^2\) gibt es genau eine Tangente, deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse eine Größe von 135° hat. Geben Sie die Steigung dieser Tangente an und bestimmen Sie anschließend die Gleichung der Tangente.

(5 BE)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\,\colon x \mapsto 3 \cdot \left(1 - e^{-x}\right) - x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen der Definitionsmenge.

(2 BE)

Zeigen Sie, dass \(G_f\) genau einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen Koordinaten an.

(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des Hochpunkts: \(\ln 3\))

(5 BE)

Berechnen Sie \(f(0)\) sowie \(f(3)\) und skizzieren Sie \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in einem Koordinatensystem.

(3 BE)

Im Intervall \([2;3]\) besitzt \(f\) genau eine Nullstelle \(a\). Bestimmen Sie einen Näherungswert von \(a\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert 3 durchführen. Man erhält dadurch \(a\) auf zwei Dezimalen genau.

(Ergebnis: \(a \approx 2{,}82\))

(3 BE)

Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE)

Betrachtet wird nun die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle F\,\colon\,x\mapsto \int_{a}^{x}f(t)\,dt\).

Geben Sie an, welche besonderen Eigenschaften der Graph von \(F\) im Punkt \((a|F(a))\) hat; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(4 BE)

Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Funktion \(F\) und dem Ergebnis der Aufgabe 1e an.

(1 BE)

Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus; die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall lässt sich diese Intensität nach Max Planck durch die Schar der in \(\mathbb R^+\) definierten Funktionen

\[I_T\,\colon x \mapsto \frac{x^3}{e^{\frac{x}{T}} - 1}\]

mit \(T \in \mathbb R^+\) beschreiben. Dabei ist \(x\) - bis auf eine Konstante - die Frequenz der Strahlung und \(T\) die Temperatur des Körpers in Kelvin.

Die Abbildung zeigt die zu drei Werten des Parameters \(T\) gehörenden Graphen von \(I_T\).

Bei der Bearbeitung der folgenden Aufgaben soll auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Weisen Sie anhand des Funktionsterms von \(I_T\) nach, dass der Wert der Intensität der Strahlung stets positiv ist.

(3 BE)

Zeigen Sie, dass für die erste Ableitung der Funktion \(I_T\) gilt:

\[I'_T(x) = \frac{x^2 \cdot e^{\frac{x}{T}} \cdot \left [ 3 \cdot \left (1 - e^{-\frac{x}{T}} \right ) - \frac{x}{T} \right ]}{\left ( e^{\frac{x}{T}} - 1 \right )^2}\]

Vergleichen Sie diesen Term mit dem der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 und begründen Sie, dass die Funktion \(I_T\) bei \(x = a \cdot T\) ihr einziges Maximum besitzt, wenn \(a\) die positive Nullstelle von \(f\) ist.

(6 BE)

Das Maximum der Intensität der Strahlung unserer Sonne liegt bei \(x_{\text{max}} = 17 \cdot 10^3\). Bestimmen Sie damit einen Näherungswert für die Oberflächentemperatur der Sonne.

(2 BE)

Jeder der in der Abbildung dargestellten Graphen I, II und III gehört zu genau einer der Temperaturen 4000 K, 6000 K und 8000 K. Ordnen Sie die Temperaturen den Graphen zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

(3 BE)

Wird die Temperatur \(T\) eines Körpers verdoppelt, so nimmt das Maximum der Intensität seiner Strahlung den achtfachen Wert an. Begründen Sie diese Tatsache.

(3 BE)

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \sin x\) durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

(1 BE)

Die Funktion \(h\) hat den Wertebereich \([1;3]\).

(1 BE)

Die Funktion \(k\) besitzt die Periode \(\pi\).

(1 BE)