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Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(2 \leq x \leq 6\) sowie die dazu symmetrische Fläche im II-Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion \(F\), wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.

(3 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

(4 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.

(4 BE)

Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\)

●  die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen,

●  beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen,

●  jeweils mit der \(x\)-Achse eine Fläche des Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen.

Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\).

(6 BE)

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche \(G\) und Höhe \(h\) berechnen. Erläutern Sie, dass der Term \(\displaystyle 24 \cdot \int_{0{,}2}^{4} \left( f(0{,}2) - f(x) \right) dx\) das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.

(3 BE)

Im IV. Quadranten schließt \(G_{f}\) zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = 2\) ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa \(1{,}623\) beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion \(h\) als Näherung für die Funktion \(f\) verwendet wird.

(5 BE)

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Aufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{a} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} - ax + 6\) mit \(a \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie denjenigen Wert des Parameters \(a\), sodass die Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a}(t) dt\) die Nullstelle \(x = 6\) besitzt.

 

Aufgabe 2

 

 

Aufgabe 3

 

 

Aufgabe 4

 

 

Aufgabe 5

 

 

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{a} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} - ax + 6\) mit \(a \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie denjenigen Wert des Parameters \(a\), sodass die Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a}(t) dt\) die Nullstelle \(x = 6\) besitzt.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

 

Aufgabe 2

Geben Sie jeweils eine Gleichung der Gerade \(g\) an, für die gilt:

a) Die Gerade \(g\) ist eine Ursprungsgerade und der Punkt \(P(1|3|4)\) liegt auf \(g\).

b) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\).

c) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene durch den Punkt \(R(-2{,}5|1|1)\).

d) Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(S(3|2|-1)\) und \(T(6|4|0)\).

 

Aufgabe 3

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\). Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

a) Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so verlaufen die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander.

b) Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) rechtwinklig.

 

Aufgabe 4

Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. 

 

Aufgabe 5

Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist.

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).