Anzeige nach Tag: Bestimmtes Integral

Teilaufgabe 2b

Die erste Ableitung von \(h\) ist \(h'\).

Bestimmen Sie den Wert von \(\displaystyle \int _{0}^{1}h'(x)\,dx\). 

(2 BE)

Teilaufgabe 3a

Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit in Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in Wirklichkeit entsprechen.

Berechnen Sie den Inhalt des von \(G_h\) und der Winkelhalbierenden \(w\) eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.

Abbildung zu Teilaufgabe 3

(5 BE)

Teilaufgabe 1e

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen \(x = 10\) und \(x = s\) mit \(s > 10\) schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(s)\) ein. Bestimmen Sie \(A(s)\).

(Ergebnis: \(\displaystyle A(s) = 10 \cdot \ln{\frac{s^2 - 25}{75}}\))

(5 BE)

Teilaufgabe 3b

Geben Sie einen möglichen Term der Funktion \(t\) an. Zeigen Sie für dieses \(t\) die Gültigkeit der Aussage aus Aufgabe 3a durch Integration mithilfe einer Stammfunktion.

(4 BE) 

Teilaufgabe 3a

Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten integrierbaren Funktion \(t\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Begründen Sie, dass für alle \(a \in \mathbb R\) gilt: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} t(x)\,dx = 0\).

(3 BE) 

Teilaufgabe 1c

Berechnen Sie den Anteil (in Prozent), den das Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A\) am Inhalt des Flächenstücks einnimmt, das \(G_h\) mit der \(x\)-Achse vollständig einschließt.

(4 BE) 

Teilaufgabe 2f

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(Q\,\colon x \mapsto \frac{16}{17}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \left( \sin x - \frac{1}{4}\cos x \right)\) ist eine Stammfunktion von \(q\).

Zeigen Sie rechnerisch, dass \(\displaystyle \int_0^{2\pi} q(x)\,dx > 0\) gilt, und deuten Sie die Aussage dieser Ungleichung am Graphen von \(q\).

(3 BE) 

Teilaufgabe 2g

Es gibt Werte \(a \in \mathbb R^+\), für die \(\displaystyle \int_0^{a} q(x)\,dx < 0\) gilt. Geben Sie einen solchen Wert an und begründen Sie Ihre Antwort ohne zu rechnen.

(3 BE) 

Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie durch Integration mithilfe des Näherungswerts von \(a\) einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE) 

Teilaufgabe 1g

Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Funktion \(F\) und dem Ergebnis der Aufgabe 1e an.

(1 BE)