Binomialverteilung

Teilaufgabe 1b

Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

(3 BE)

Teilaufgabe 1c

Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. 20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

(5 BE)

Teilaufgabe 1d

Der Studie zufolge besitzen 55 % der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät.

Geben Sie den Wert der Summe \(\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\) in Prozent an. Begründen Sie, dass der Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den 25 Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzen.

(3 BE) 

Teilaufgabe 2

Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) angegeben wird.

(2 BE)

Teilaufgabe 1

Der Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt ein Sechstel. Aus der Bevölkerung werden acht Personen zufällig ausgewählt. Zwei der folgenden Terme I bis VI beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf dieser Personen Linkshänder sind. Geben Sie diese beiden Terme an.

\[\textsf{I} \enspace \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)\]

\[\textsf{II} \enspace \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

\[\textsf{III} \enspace 1 - \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5\]

\[\textsf{IV} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3\]

\[\textsf{V} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

\[\textsf{VI} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5\]

(2 BE)

Teilaufgabe 3a

Zehn 40- bis 44-jährige Frauen wurden zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(A\,\colon\;\)„Unter ihnen sind genau drei Raucherinnen."

\(B\,\colon\;\)„Unter ihnen sind höchstens vier Raucherinnen." 

(4 BE) 

Teilaufgabe 1a

Mithilfe der Graphologie werden aus der Handschrift einer Person Rückschlüsse auf deren Persönlichkeit gezogen.

An einer Fachschule für Graphologie ist eine Dozentenstelle neu zu besetzen. Den Bewerbern sollen im Rahmen eines Vortests Schriftproben vorgelegt werden. Jede Schriftprobe stammt entweder von einer entscheidungsfreudigen oder von einer zögerlichen Person; dies soll dem jeweiligen Bewerber mitgeteilt werden, der sich anschließend bei jeder Schriftprobe entscheiden muss, ob er sie einer entscheidungsfreudigen oder einer zögerlichen Person zuordnet. Ein Bewerber soll den Vortest bestehen, wenn er sich bei mehr als zwei Dritteln der vorgelegten Schriftproben richtig entscheidet.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber, der nur rät, den Vortest besteht, wenn man ihm zwölf Schriftproben vorlegen würde.

(5 BE) 

Teilaufgabe 1b

Die Schulleitung fordert, den Vortest so zu gestalten, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, den Vortest zu bestehen, für einen Bewerber, der nur rät, höchstens 3 % beträgt. Man entscheidet sich dafür, die Anzahl vorgelegter Schriftproben auf 30 festzulegen.

Zeigen Sie, dass mit dieser Festlegung die Forderung der Schulleitung erfüllt ist.

(3 BE) 

Teilaufgabe 1c

Ermitteln Sie auf fünf Prozent genau, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Schriftprobe richtig zu entscheiden, für einen Bewerber mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt.

(3 BE) 

Teilaufgabe 2a

Ein Unternehmen lässt im Rahmen von Bewerbungsverfahren graphologische Gutachten zu den Personen erstellen, die sich um eine Stelle bewerben. Im Mittel werden 25 % der Bewerber aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgewiesen. Für eine Stelle bewerben sich 20 Personen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen Bewerber, die aufgrund ihres graphologischen Gutachtens abgelehnt werden, kleiner als die dafür im Mittel zu erwartende Anzahl ist.

(3 BE)