Binomialverteilung

Teilaufgabe 1c

Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an, welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist:

Tabelle: Eignung von Spenderblut für verschiedene Empfänger

Für einen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\) wird Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viel zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält.

(5 BE)

Teilaufgabe 1a

Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:

Tabelle: Verteilung der Blutgruppen und Rhesusfaktoren

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige Auswahl aus der Bevölkerung darstellen. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender die Blutgruppe \(A\) haben.

(3 BE)

Teilaufgabe 1c

Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs 48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau sechs Jungwähler befinden. 

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der Spender die Blutgruppe \(0\) und den Rhesusfaktor \(Rh+\) besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 4a

Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Nur dann, wenn der Mechanismus nicht funktioniert, wird der Vorhang von Hand zugezogen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(A\,\): "Bei einer Aufführung wird der Vorhang kein einziges Mal von Hand zugezogen."

\(B\,\): "Bei einer Aufführung lässt sich der Vorhang zunächst viermal automatisch schließen, insgesamt wird der Vorhang jedoch genau zweimal von Hand zugezogen."

(5 BE)

Teilaufgabe 4c

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft der Mechanismus beim Schließen des Vorhangs im Verlauf einer Aufführung nicht funktioniert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von \(X\) um mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(5 BE)

Teilaufgabe 3d

Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens teilnehmen müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens ein Kandidat darunter ist, der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.

(4 BE)

Teilaufgabe 3c

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.

(2 BE)

Teilaufgabe 2a

Aus dem Bewerberfeld werden zwanzig weibliche und zehn männliche Personen zu einem Casting eingeladen, das in zwei Gruppen durchgeführt wird. Fünfzehn der Eingeladenen werden für die erste Gruppe zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für die erste Gruppe zehn weibliche und fünf männliche Personen ausgewählt werden, wird mit \(p\) bezeichnet.

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass \(p\) nicht durch den Term

\[\binom{15}{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{10}\]

beschrieben wird.

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Zehn Besucher des Gemeindefests drehen nacheinander jeweils einmal das Glücksrad. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen lässt.

\(A\): "Nur die ersten fünf Preise entfallen auf die Kategorie 4."

\(B\): "Genau die Hälfte der Preise entfällt auf die Kategorie 4."

\(C\): "Die Preise verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Kategorien 1 und 4."

(5 BE)