Extrempunkt

Teilaufgabe 1e

Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt.

(3 BE)

Teilaufgabe 1d

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt.

(2 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\))

(4 BE)

Teilaufgabe 2d

Für die erste Ableitung von \(f_{a,b,c}\) gilt: \(f'_{a,b,c}(x) = -\dfrac{ax^{2} + 2bx - ac}{(x^{2} +c)^{2}}\).

Zeigen Sie: Wenn \(a \neq 0\) und \(c > 0\) gilt, dann besitzt der Graph von \(f_{a,b,c}\) genau zwei Extrempunkte.

(4 BE)

Teilaufgabe 2d

Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1

(4 BE)

Teilaufgabe 2a

Nun wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x}f(t)dt\) betrachtet; ihr Graph wird mit \(G_{F}\) bezeichnet.

Begründen Sie, dass \(F\) in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt.
Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\) hat, und begründen Sie Ihre Angabe.

(5 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von \(h\).

(3 BE)

Teilaufgabe e

Ein Pharmaunternehmen führt eine Studie zur Wirksamkeit und Verträglichkeit eines neu entwickelten Medikaments durch. Wenn das Medikament einmalig in Form einer Tablette eingenommen wird, kann die zeitliche Entwicklung der Konzentration des Wirkstoffs im Blut des Patienten modellhaft durch die betrachtete Funktion \(f\) für \(x \in [0;9]\) beschrieben werden. Dabei steht \(x\) für die Zeit in Stunden seit der Einnahme der Tablette und \(f(x)\) für die Konzentration des Wirkstoffs im Blut des Patienten (im Weiteren kurz als Wirkstoffkonzentration bezeichnet) in Milligramm pro Liter \(\big( \frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\big)\).

Die folgenden Aufgaben e bis i sollen auf der Grundlage dieses Modells bearbeitet werden.

Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration 30 Minuten nach Einnahme der Tablette und geben Sie die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an.

(2 BE)

Teilaufgabe b

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(5 BE)

Teilaufgabe 4a

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 2

 

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Graph I Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A
Graph II Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 A
Graph III Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2019 AAbb. 3

 

(3 BE)