Anzeige nach Tag: Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen

Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

 

Aufgabe 2

Geben Sie jeweils eine Gleichung der Gerade \(g\) an, für die gilt:

a) Die Gerade \(g\) ist eine Ursprungsgerade und der Punkt \(P(1|3|4)\) liegt auf \(g\).

b) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\).

c) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene durch den Punkt \(R(-2{,}5|1|1)\).

d) Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(S(3|2|-1)\) und \(T(6|4|0)\).

 

Aufgabe 3

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\). Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

a) Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}; \; k \in \mathbb R\), so verlaufen die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander.

b) Gilt \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} = 0\), so schneiden sich die Geraden \(g\) und \(h\) rechtwinklig.

 

Aufgabe 4

Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. 

 

Aufgabe 5

Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist.

Lösung - Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an.

c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein herzförmiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie \(G_{f^{-1}}\) mithilfe der Funktionswerte \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3{,}5)\) und \(f(4)\) im ersten Quadranten eines gemeinsamen Koordinatensystems. Achten Sie dabei insbesondere auf den Verlauf von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 4\). Schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

Lösung - Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

 

Aufgabe 2

Ein Test besteht aus zwölf Fragen, zu denen es jeweils gleich viele Antwortmöglichkeiten gibt. Pro Frage ist genau eine Antwort richtig.

Wie viele Antwortmöglichkeiten darf der Test höchstens nennen, damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet.

 

Aufgabe 3

Abbildung Klausur Q12/2-002 Aufgabe 3, Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach B(n;p) binomialverteilten Zufallsgröße X

Die Abbildung zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(n;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) und kennzeichnet die Lage des Erwartungswerts \(\mu = E(X)\).

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung und unter Verwendung des Stochastischen Tafelwerks die Werte der Parameter \(n\) und \(p\). Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

 

Aufgabe 4

Die Punkte \(O(0|0|0)\), \(P(5|2|2)\) und \(Q(-2|4|-2)\) legen die Grundfläche \(OPQ\) der Pyramide \(OPQS\) mit dem Volumeninhalt 20 VE (Volumeneinheiten) fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse.

a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))

b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen.

c) Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze \(S\).

d) Die Menge aller Pyramidenspitzen \(S^{*}\), sodass der Volumeninhalt der Pyramiden \(OPQS^{*}\) stets 20 VE beträgt, ist gegeben durch die Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(3|4|5)\) und dem Radius \(r = 3\).

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) tangiert.

Lösung - Aufgabe 3

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:

a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\)

c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\)

 

Aufgabe 2

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

 

Aufgabe 3

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

 

Aufgabe 4

Ein Unternehmen stellt Tonerkassette für Laserdrucker her. Eine Tonerkassette vom Typ XL300 kostet in der Herstellung 40 Euro. Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 4 % aller Tonerkassetten vom Typ XL300 defekt sind. Im Falle einer defekten Tonerkassette bekommt ein Kunde diese kostenlos ersetzt. Das Unternehmen möchte pro verkaufter Tonerkassette vonm Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielen.

Zu welchem Preis muss das Unternehmen eine Tonerkassette vom Typ XL300 anbieten?

 

Aufgabe 5

Ein Laplace-Tetraeder (dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt:

Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine der Ziffern 1, 2, 3 oder 4 und wirft das Tetraeder anschließend dreimal. Gewertet wird die Ziffer der Fläche, auf der das Tetraeder zu liegen kommt.

Erzielt der Spieler bei keinem Wurf die gesetzte Ziffer, ist der Einsatz verloren.

Erzielt der Spieler einmal die gesetzte Ziffer, erhält er den Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler zweimal die gesetzte Ziffer, erhält er den doppelten Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler dreimal die gesetzte Ziffer, erhält er den dreifachen Einsatz zurück.

Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro.

a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgroße \(G\).

b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Aufgaben

Aufgabe 1

Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/1-003 A1, Graphen der Funktionen f und g

Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.

b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.

 

Aufgabe 2

Geben ist die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\).

a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\) an.

b) Berechnen Sie eine integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\). Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

 

Aufgabe 3

Die Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion \(f\) ergibt folgende Gleichungen:

\(f'(2) = 0; \; f''(2) = 0\)

a) Entscheiden Sie, welche der drei Aussagen richtig ist und begründen Sie Ihre Wahl.

(I) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrempunkt.

(II) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Terrassenpunkt.

(III) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrem- oder Terrassenpunkt.

b) Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm \(f(x)\), sodass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt besitzt.

 

Aufgabe 4

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln.

a) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) und geben Sie diese tabellarisch an.

c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\).

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der höchstens um die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.

 

Aufgabe 5

Ein Glücksrad ist in zwei Sektoren unterteilt. Ein Sektor ist mit einer Eins und der andere Sektor mit einer Zwei beschriftet (vgl. Abbildung). Für ein Spiel wird das Glücksrad solange gedreht, bis zum ersten mal die Eins erscheint, jedoch höchstens dreimal. Erscheint die Eins bei der ersten Drehung, erhält der Spieler 5 €, erscheint die Eins bei der zweiten Drehung, erhält er 1 €..

Abbildung Klausur Q12/1-003 Aufgabe 4, Glücksrad

a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist.

b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die Öffnungswinkel der Sektoren des Glücksrads zu wählen, damit das Spiel „fair" ist?

Lösung - Aufgabe 1

Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/1-003 A1, Graphen der Funktionen f und g

Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\).

a) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\) der von den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) begrenzten Fläche.

b) Geben Sie ohne weitere Rechnung den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-4}^{+4} f(x) dx\) an und veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung durch geeignete Eintragungen.

Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).

Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden liegen.

b) Eine Gleichung der Geraden \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

 

Aufgabe 5

Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

Seite 1 von 2