Funktionenschar

Für einen bestimmten Wert von \(k\) besitzt \(G_{k}\) zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert.

(3 BE)

Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher betrachtetet Funktion \(f\).

Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Nullstellen von \(h_{k}\) an.

(2 BE)

Betrachtet wird die Schar der Funktionen \(f_{a,b,c} \,\colon x \mapsto \dfrac{ax + b}{x^{2} + c}\) mit \(a, b, c \in \mathbb R\) und maximaler Definitionsmenge \(D_{a,b,c}\).

Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\) an.

(1 BE)

Gegeben ist eine in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\).

(3 BE)

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.

(4 BE)

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).

(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph \(G_{k}\) genau einen Wendepunkt \(W_{k}\).

Geben Sie das Verhalten von \(g_{k}\) an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von \(k\) an.

(2 BE)

Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle besitzt.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p_{k} \colon x \mapsto kx^{2} - 4x - 3\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\), deren Graphen Parabeln sind.

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der Punkt \((2|-3)\) auf der zugehörigen Parabel liegt.

(2 BE)

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen \(h_{k}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\), die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen \(D_{k}\) unterscheiden.

Es gilt \(h_{k} \colon x \mapsto \cos{x}\) mit \(D_{k} = [0;k]\).

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion \(h_{7}\). Geben Sie den größtmöglichen Wert von \(k\) an, sodass die zugehörige Funktion \(h_{k}\) umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von \(k\) den Graphen der Umkehrfunktion von \(h_{k}\) in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

(3 BE)