Funktionenschar
Teilaufgabe 3c
Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.
(4 BE)
Teilaufgabe 3b
Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).
(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))
(3 BE)
Teilaufgabe 3a
Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph \(G_{k}\) genau einen Wendepunkt \(W_{k}\).
Geben Sie das Verhalten von \(g_{k}\) an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von \(k\) an.
(2 BE)
Teilaufgabe 3b
Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle besitzt.
(3 BE)
Teilaufgabe 3a
Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p_{k} \colon x \mapsto kx^{2} - 4x - 3\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\), deren Graphen Parabeln sind.
Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der Punkt \((2|-3)\) auf der zugehörigen Parabel liegt.
(2 BE)
Teilaufgabe 4a
Betrachtet wird eine Schar von Funktionen \(h_{k}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\), die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen \(D_{k}\) unterscheiden.
Es gilt \(h_{k} \colon x \mapsto \cos{x}\) mit \(D_{k} = [0;k]\).
Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion \(h_{7}\). Geben Sie den größtmöglichen Wert von \(k\) an, sodass die zugehörige Funktion \(h_{k}\) umkehrbar ist. Zeichnen Sie für diesen Wert von \(k\) den Graphen der Umkehrfunktion von \(h_{k}\) in Abbildung 4 ein und berücksichtigen Sie dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.
(3 BE)
Teilaufgabe 4b
Für jeden Wert von \(a\) besitzt der Graph von \(f_{a}\) genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von \(a\), für den der Graph der Funktion \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 3\) einen Extrempunkt hat.
(3 BE)
Teilaufgabe 4a
Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.
Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.


(2 BE)
Teilaufgabe 5b
Für jeden Wert von \(a\) besitzt der Graph von \(f_{a}\) genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von \(a\), für den der Graph der Funktion \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 3\) einen Extrempunkt hat.
(3 BE)
Teilaufgabe 5a
Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.
Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.


(2 BE)