Ganzrationale Funktion

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).

    b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

    c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).

    d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).

    e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 2

    Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:

    a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)

    b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)

     

    Aufgabe 3

    Abbildung zu Aufgabe 3 Klausur Q11/1-001

    Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).

    a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.

    b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).

     

    Aufgabe 4

    Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

    c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). 

    d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

    e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

    f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

    c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\).

    d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

    e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

    f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) und geben Sie die Lage und die Art der lokalen Extrempunkte von \(G_{f}\) an.

  • Aufgabe 1

    Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

    (Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

    d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

    e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

     

    Aufgabe 3

    a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

     

    α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

    β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

    γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

     

    b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

     

    a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

    b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

     

    Aufgabe 5

    Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

    Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

     

    Aufgabe 6

    Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

    Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

     

    Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
      Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
        Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

     

    Graphen I bis VI:

    Graph I Graph II Graph III
    Graph IV Graph V Graph VI
  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    b) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    c) Weisen Sie nach, dass der Graph \(G_{f}\) durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) verläuft und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet.

    (Teilergebnis: \(f'(x) = -\dfrac{8(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4)^{2}}\))

    d) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    e) Zeichnen Sie den Graphen \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 2

    Der Graph \(G_{f}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

    \(G_{f}\) hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\).

    \(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\).

    \(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\).

     

    a) Geben Sie einen möglichen Funktionsterm der Funktion \(f\) an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(f\).

    b) „Der Funktionsterm \(f(x)\) ist durch die genannten Eigenschaften eindeutig bestimmt." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.

     

    Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)

    a) zwei Extrempunkte

    b) einen Terrassenpunkt

    besitzt.

     

    Aufgabe 4

    Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11/1-004

    Nach der Einnahme eines Medikaments wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen.

    Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden (vgl. Abbildung).

     

    a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikaments, zu dem die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut des Patienten noch 10 % der maximalen Konzentration beträgt auf Minuten genau.

    (Teilergebnis: \(K'(t) = -\dfrac{100(t^{2} - 25)}{(t^{2} + 25)^{2}}\))

    b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Konzentration \(K\) im Zeitintervall \([10;20]\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto f(x)\) mit

     

    \[f(x) = \vert 2x - 4 \vert = \begin{cases} \begin{align*} 2x - 4 \; \text{falls} \; &x \geq 0 \\[0.8em] -(2x - 4) \; \text{falls} \; &x < 0 \end{align*} \end{cases}\]

     

    Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) in ein geeignetes Koordinatensystem und begründen Sie geometrisch, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

    b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.

     

    Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)

    a) zwei Extrempunkte

    b) einen Terrassenpunkt

    besitzt.

  • Aufgabe 1

    Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.

    a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\)

    b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)

     

    c) \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\)

    d) \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\)

     

    Aufgabe 2

    Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

    a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)

    b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)

     

    Aufgabe 3

    Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

     

    a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.

    b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

     

    Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

     

    Aufgabe 5

    Abbildung zu Klausur Q12/1 001 Aufgabe 5

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

     

    a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

    b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

     

    Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

  • Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für \(-2 \leq x \leq 0\) nicht mehr durch \(G_h\), sondern durch den Graphen \(G_k\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(k\) dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion \(k\) werden die folgenden Bedingungen gewählt (\(k'\) und \(h'\) sind die Ableitungsfunktionen von \(k\) bzw. \(h\)):

    \[\begin{align*} \sf{I} & \quad k(0) = h(0) \\[0.8em] \sf{II} & \quad k'(0) = h'(0) \\[0.8em] \sf{III} & \quad k(-2) = h(-2) \\[0.8em] \sf{IV} & \quad k'(-2) = 1{,}5 \end{align*}\]

    Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen I, II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \left(x^3 - 8 \right) \cdot (2 + \ln x)\) mit maximalem Definitionsbereich D.

    Geben Sie D an.

    (1 BE)

  • Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\).

    (2 BE)

  • Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) mit \(f(x) = x^2 - x + 1\), \(g(x) = x^3 - x + 1\) und \(h(x) = x^4 + x^2 + 1\).

    Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

    Abbildung 1 zu Teilaufgabe 2 Analysis 1 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2015Abb. 1

     

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\).

    Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

    (3 BE)

  • Der Graph von \(f\) wird verschoben. Der Punkt \((2|0)\) des Graphen der Funktion \(f\) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten \((3|2)\). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion \(h\). Geben Sie eine Gleichung von \(h\) an.

    (2 BE)

  • Der Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

    \(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\).

    (Ergebnis: \(a = 1, b = -2\))

    (4 BE)

  • Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

    (4 BE)

  • Die Gerade \(g\) schneidet \(G_{f}\) in den Punkten \(W\) und \((2|0)\).

    Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an.

    (4 BE)

  • \(G_{f}\) und die \(x\)-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. 

    (6 BE)

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