Ganzrationale Funktion

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten.

Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Wendestelle besitzt. 

(2 BE)

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.

(4 BE)

Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).

(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph \(G_{k}\) genau einen Wendepunkt \(W_{k}\).

Geben Sie das Verhalten von \(g_{k}\) an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von \(k\) an.

(2 BE)

Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle besitzt.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(p_{k} \colon x \mapsto kx^{2} - 4x - 3\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\), deren Graphen Parabeln sind.

Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der Punkt \((2|-3)\) auf der zugehörigen Parabel liegt.

(2 BE)

Die Funktion \(E\) mit \(E(x) = 23x\) gibt für \(0 \leq x \leq 9\) den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von \(x\) Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion \(G\) gilt \(G(x) = E(x) - K(x)\). Positive Werte von \(G\) werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

(2 BE)

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion \(K \colon x \mapsto x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20\) mit \(x \in [0;9]\) beschrieben werden. Dabei gibt \(K(x)\) die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von \(x\) Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von \(K\).

Abb. 2

Geben Sie mithilfe von Abbildung 2

α)  die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen.

β)  das Monotonieverhalten von \(K\) an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

(3 BE)

\(G_{f}\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 25x)\) durch Verschiebung in positive \(x\)-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von \(g\) dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion \(g\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

(4 BE)

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

(6 BE)