Geometrie 1

  • Im Raum sind die Eckpunkte eines Dreiecks \(ABC\) gegeben, das weder gleichschenklig noch rechtwinklig ist. Beschreiben Sie in mehreren Teilschritten einen Weg zur Ermittlung der Koordinaten eines Punktes \(D\), durch den sich das Dreieck zum Drachenviereck \(ABCD\) ergänzen lässt.

    (4 BE)

  • Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(P\,(2|3|-3)\) von \(E\).

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Ebene \(E\;\colon\,2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\).

    Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\)

    (3 BE)

  • Eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet, lässt sich modellhaft durch die \(x_1x_2\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden; eine Längeneinheit im Modell entspricht 1 km in der Landschaft.

    Ein Flugzeug \(F_1\) steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn geradlinig auf - im Modell vom Punkt \(P\,(-10|0|0)\) aus entlang der Geraden

    \(\displaystyle g_1\,\colon\, \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \enspace \lambda \in \mathbb R\,\).

    Die Flugbahn eines Flugzeugs \(F_2\) verläuft im Modell entlang der Geraden

    \(g_2\,\colon\, \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}, \enspace \mu \in \mathbb R\,\).

    Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der \(F_1\) fliegt, und begründen Sie, dass \(F_2\) eine konstante Flughöhe hält.

    (3 BE)

  • Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale.

    (4 BE)

  • Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden. Begründen Sie, dass die Flugzeuge dennoch - auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren.

    (5 BE)

  • Der Richtungsvektor von \(g_2\) beschreibt im Modell die konstante Geschwindigkeit des Flugzeugs \(F_2\) in \(\frac{\sf{km}}{\sf{min}}\). Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters \(\mu\) an.

    (2 BE)

  • Eine Radarstation, deren Position im Modell durch den Punkt \(R\,(20|30|0)\) veranschaulicht wird, erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von 50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) in dem vom Radar erfassten Bereich.

    (6 BE)

  • Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma \(ABCDEF\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(8|0|0)\), \(C\,(0|8|0)\) und \(D\,(0|0|4)\).

    Abbildung zu Teilaufgabe 1

    Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte \(B\) und \(F\).

    (2 BE)

  • Die Punkte \(M\) und \(P\) sind die Mittelpunkte der Kanten \([AD]\) bzw. \([BC]\). Der Punkt \(K\,(0|y_K|4)\) liegt auf der Kante \([DF]\). Bestimmen Sie \(y_K\) so, dass das Dreieck \(KMP\) in \(M\) rechtwinklig ist.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Ebene \(E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\).

    Beschreiben Sie die besondere Lage von \(E\) im Koordinatensystem.

    (1 BE)

  • Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet.

    (4 BE)

  • In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt.

    Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

    (3 BE)

  • Das Dreieck \(ABC\) stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt \(P\,(2|2|3)\) gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.

    Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor \(\displaystyle \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}\) beschrieben.

    Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(R\), in dem \(g\) die Ebene \(E\) schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.

    (zur Kontrolle: \(R\,(1{,}5|1{,}5|1)\))

    (5 BE)

  • Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt \(R\) dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt \(Q\,(0|0|1)\) beschrieben wird (vgl. Abbildung).

    Abbildung zu Teilaufgabe c

    Zeigen Sie, dass die Punkte \(P\) und \(Q\) bezüglich der Ebene \(E\) symmetrisch sind.

    (3 BE)

  • Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet.

    Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene \(F\) liegt.

    (mögliches Teilergebnis: \(F\,\colon\, x_1 - x_2 = 0\)) 

    (5 BE)

  • Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels \(\beta\) zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels \(\alpha\) zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.

    (4 BE)

  • Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\,(0|1|2)\) und \(B\,(2|5|6)\).

    Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben.

    Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(C\) und \(D\).

    (3 BE)

  • Die Punkte \(A\), \(B\) und \(E\,(1|2|5)\) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten.

    Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

    (2 BE)

  • Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(4|4|2)\), \(C\,(8|0|2)\), \(D\,(4|-4|0)\) und \(S\,(1|1|-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

    Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.

    (2 BE)