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Teilaufgabe k

Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) sein und stets mindestens 25 % unter der gesundheitsschädlichen Grenze von 2\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) liegen. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x)\) und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

(5 BE)

Teilaufgabe g

In der Pharmakologie wird das in positive \(x\)-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse befindet, als AUC (area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion \(f\) die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte \(x\) realistisch beschreiben.

Die \(x\)-Achse, \(G_{f}\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(b)\) ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe d angegebenen Stammfunktion \(F\) einen Term für \(A(b)\) und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion \(f\) auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.

(4 BE)

Teilaufgabe a

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten.

Abbildung Aufgabe a Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Begründen Sie, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 3a

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph \(G_{k}\) genau einen Wendepunkt \(W_{k}\).

Geben Sie das Verhalten von \(g_{k}\) an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von \(k\) an.

(2 BE)

Teilaufgabe 1a

Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

(3 BE)

Teilaufgabe 1c

Begründen Sie, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f'(x) = 0\) gilt. Geben Sie \(f'(0{,}5)\) und \(f'(10)\) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

(6 BE)

Teilaufgabe 4a

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(2 BE)

Teilaufgabe 5a

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(2 BE)

Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

Aufgaben

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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Graph \(G_{f}\) durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) verläuft und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet.

(Teilergebnis: \(f'(x) = -\dfrac{8(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4)^{2}}\))

d) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

e) Zeichnen Sie den Graphen \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

 

Aufgabe 2

Der Graph \(G_{f}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

\(G_{f}\) hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\).

\(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\).

\(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\).

 

a) Geben Sie einen möglichen Funktionsterm der Funktion \(f\) an und Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(f\).

b) „Der Funktionsterm \(f(x)\) ist durch die genannten Eigenschaften eindeutig bestimmt." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.

 

Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)

a) zwei Extrempunkte

b) einen Terrassenpunkt

besitzt.

 

Aufgabe 4

Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11/1-004

Nach der Einnahme eines Medikaments wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen.

Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden (vgl. Abbildung).

 

a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikaments, zu dem die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut des Patienten noch 10 % der maximalen Konzentration beträgt auf Minuten genau.

(Teilergebnis: \(K'(t) = -\dfrac{100(t^{2} - 25)}{(t^{2} + 25)^{2}}\))

b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Konzentration \(K\) im Zeitintervall \([10;20]\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto f(x)\) mit

 

\[f(x) = \vert 2x - 4 \vert = \begin{cases} \begin{align*} 2x - 4 \; \text{falls} \; &x \geq 0 \\[0.8em] -(2x - 4) \; \text{falls} \; &x < 0 \end{align*} \end{cases}\]

 

Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) in ein geeignetes Koordinatensystem und begründen Sie geometrisch, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.