Integralfunktion

Teilaufgabe 1f

Begründen Sie, dass \(F_{1}\) höchstens vier Nullstellen hat.

(2 BE)

Teilaufgabe 1e

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass \(F_{1}\) mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.

(2 BE)

Teilaufgabe 1d

Im Folgenden wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F_{1}\) mit \(\displaystyle F_{1}(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt\) betrachtet.

\(F_{1}\) hat für \(0 \leq x \leq 10\) zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.

(3 BE)

Teilaufgabe 3

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion \(f\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R\) gehört. Der Scheitel der Parabel hat die \(x\)-Koordinate 3.

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\).

Wie viele Nullstellen hat \(F\)?. Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

Abbildung Aufgabe 3 Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(4 BE)

Aufgaben

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Aufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{a} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} - ax + 6\) mit \(a \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie denjenigen Wert des Parameters \(a\), sodass die Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a}(t) dt\) die Nullstelle \(x = 6\) besitzt.

 

Aufgabe 2

 

 

Aufgabe 3

 

 

Aufgabe 4

 

 

Aufgabe 5

 

 

Lösung - Aufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{a} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} - ax + 6\) mit \(a \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie denjenigen Wert des Parameters \(a\), sodass die Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f_{a}(t) dt\) die Nullstelle \(x = 6\) besitzt.

Aufgaben

Aufgabe 1

Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/2-001

Die Abbildung zeigt je einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 2} - 2\) und des Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto -\sqrt{4 - x} + 4\).

a) Beschreiben Sie schrittweise wie der Graph \(G_{f}\) und der Graph \(G_{g}\) jeweils aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht und bestimmen Sie jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\) und \(g\) durch Rechnung.

Betrachtet wird die Strecke \([PQ]\) der Punkte \(P(x|f(x))\) und \(Q(x|g(x))\) mit derselben Abszisse.

b) Zeigen Sie, dass der Funktionsterm \(d(x) = -\sqrt{4 - x} -\sqrt{x + 2} + 6\) die Länge der Strecke \([PQ]\) in Abhängigkeit der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\) beschreibt, und geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(d\) an.

c) Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist.

Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

d) Der Flächeninhalt \(A\) soll zunächst näherungsweise berechnet werden. Hierfür wird das Viereck \(SPQR\) betrachtet, welches die Punkte \(S(-1|f(-1))\), \(P(3|f(3))\), \(Q(3|g(3))\) und \(R(-1|g(-1))\) festlegen. Der Schnittpunkt der Strecken \([PR]\) und \([QS]\) halbiert die Strecken jeweils.

Zeichnen Sie das Viereck \(SPQR\) in die Abbildung ein und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines geeigneten Lösungsverfahrens, um \(A\) näherungsweise zu berechnen.

e) Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts \(A\).

f) Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{0}^{x} d(t) dt\).

Geben Sie an, welche der folgenden Terme die Maßzahl des Flächeninhalts \(A\) berechnen (Falsche Antworten zählen negativ).

  (I)  \(I(-1) + I(3)\)

 (II)  \(I(-1) - I(3)\)

(III)  \(I(3) - I(-1)\)

(IV)  \(\vert I(-1) \vert - \vert I(3) \vert\)

 (V)  \(\vert I(-1) \vert + I(3)\)

(VI)  \(I(-1) + \vert I(3) \vert\)

 

Aufgabe 2

Zwei Seitenflächen eines Laplace-Würfels sind rot, drei sind gelb und eine Seitenfläche ist blau.

Wie viele Würfe sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten.

 

Aufgabe 3

In einer Urne befinden sich eine gelbe und zwei blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen und deren Farbe notiert. Die gezogene Kugel wird jeweils zurückgelegt und zwei weitere Kugeln derselben Farbe in die Urne gegeben. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln.

a) Erstellen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm und geben Sie den Ergebnisraum an.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 1)\).

c) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich mithilfe des Terms \(1 - P(X = 3)\) berechnen lässt.

 

Aufgabe 4

Überprüfen Sie die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) auf lineare Abhängigkeit und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

 

Aufgabe 5

Die Punkte \(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\) und \(C(0|-2|4)\) legen die Ebene \(E\) fest.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\))

b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-, \(x_{2}\)- bzw. \(x_{3}\)-Achse und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene \(E\) in einem kartesischen Koordinatensystem.

c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden \(s\) der Ebene \(E\) und der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene.

d) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(S'\), der durch Spiegelung des Punktes \(S_{1}\) an der Geraden \(s\) hervorgeht.

Lösung - Aufgabe 1

Abbildung Aufgabe 1 Klausur Q12/2-001

Die Abbildung zeigt je einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 2} - 2\) und des Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto -\sqrt{4 - x} + 4\).

a) Beschreiben Sie schrittweise wie der Graph \(G_{f}\) und der Graph \(G_{g}\) jeweils aus dem Graphen der Funktion \(x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht und bestimmen Sie jeweils die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\) und \(g\) durch Rechnung.

Betrachtet wird die Strecke \([PQ]\) der Punkte \(P(x|f(x))\) und \(Q(x|g(x))\) mit derselben Abszisse.

b) Zeigen Sie, dass der Funktionsterm \(d(x) = -\sqrt{4 - x} -\sqrt{x + 2} + 6\) die Länge der Strecke \([PQ]\) in Abhängigkeit der \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\) beschreibt, und geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(d\) an.

c) Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist.

Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

d) Der Flächeninhalt \(A\) soll zunächst näherungsweise berechnet werden. Hierfür wird das Viereck \(SPQR\) betrachtet, welches die Punkte \(S(-1|f(-1))\), \(P(3|f(3))\), \(Q(3|g(3))\) und \(R(-1|g(-1))\) festlegen. Der Schnittpunkt der Strecken \([PR]\) und \([QS]\) halbiert die Strecken jeweils.

Zeichnen Sie das Viereck \(SPQR\) in die Abbildung ein und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines geeigneten Lösungsverfahrens, um \(A\) näherungsweise zu berechnen.

e) Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts \(A\).

f) Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{0}^{x} d(t) dt\).

Geben Sie an, welche der folgenden Terme die Maßzahl des Flächeninhalts \(A\) berechnen (Falsche Antworten zählen negativ).

  (I)  \(I(-1) + I(3)\)

 (II)  \(I(-1) - I(3)\)

(III)  \(I(3) - I(-1)\)

(IV)  \(\vert I(-1) \vert - \vert I(3) \vert\)

 (V)  \(\vert I(-1) \vert + I(3)\)

(VI)  \(I(-1) + \vert I(3) \vert\)

Lösung - Aufgabe 2

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph von f

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph A

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph B

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2 - Graph C

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:

a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\)

c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\)

 

Aufgabe 2

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

 

Aufgabe 3

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

 

Aufgabe 4

Ein Unternehmen stellt Tonerkassette für Laserdrucker her. Eine Tonerkassette vom Typ XL300 kostet in der Herstellung 40 Euro. Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 4 % aller Tonerkassetten vom Typ XL300 defekt sind. Im Falle einer defekten Tonerkassette bekommt ein Kunde diese kostenlos ersetzt. Das Unternehmen möchte pro verkaufter Tonerkassette vonm Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielen.

Zu welchem Preis muss das Unternehmen eine Tonerkassette vom Typ XL300 anbieten?

 

Aufgabe 5

Ein Laplace-Tetraeder (dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt:

Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine der Ziffern 1, 2, 3 oder 4 und wirft das Tetraeder anschließend dreimal. Gewertet wird die Ziffer der Fläche, auf der das Tetraeder zu liegen kommt.

Erzielt der Spieler bei keinem Wurf die gesetzte Ziffer, ist der Einsatz verloren.

Erzielt der Spieler einmal die gesetzte Ziffer, erhält er den Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler zweimal die gesetzte Ziffer, erhält er den doppelten Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler dreimal die gesetzte Ziffer, erhält er den dreifachen Einsatz zurück.

Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro.

a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgroße \(G\).

b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.