Anzeige nach Tag: Kettenregel

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

 

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 2\sqrt{6 - x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [0;6]\). Der Punkt \(P(x|f(x))\), der Lotfußpunkt \(L(x|0)\) des Lotes von \(P\) auf die \(x\)-Achse und der Koordinatenursprung \(O\) legen das Dreieck \(OLP\) fest.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\), sodass der Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OLP\) maximal ist.

Abbildung zu Klausur Q11/2-004 Aufgabe 3

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

 

Aufgabe 5

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Lösung - Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

 

a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

 

Aufgabe 2

Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

 

a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

 

a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

 

Aufgabe 5

Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

 

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

Lösung - Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

 

a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

Lösung - Aufgabe 2

Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

 

a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen.

 

a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\)

b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\)

 

Aufgabe 2

Abbildung zu Aufgabe 2 Klausur Q11/2-002

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 4 - 2e^{x - 4}\).

 

a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist.

c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an. Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) in das obige Koordinatensystem.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an.

b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

 

Aufgabe 4

Einer der folgenden Graphen gehört zu der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon \dfrac{x + 3}{e^{x}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie an, welcher der Graphen i, II oder III den Graphen \(G_{f}\) zeigt und begründen Sie jeweils, warum die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11 2 002

 

Aufgabe 5

An der Decke eines Hausflurs ist eine Deckenleuchte angebracht. Die Randlinie des Lichtkegels der Deckenleuchte kann näherungsweise durch die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto -3 \cdot \left( e^{0{,}4x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\) beschrieben werden mit \(x\) und \(y\) in Metern (vgl. Abbildung). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

Abbildung zu Aufgabe 5 Klausur Q11 2 002

 

a) Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems ist.

b) Ersetzen Sie einen Zahl \((\neq 0)\) des Funktionsterms \(f(x)\) so, dass \(G_{f}\) symmetrisch ist und geben Sie die Art der Symmetrie an.

Eine Feinjustierung der LEDs der Deckenleuchte verändert den Lichtkegel. Die Randlinie des Lichtkegels wird nun näherungsweise durch die Funktion \(g \colon x \mapsto -3 \cdot \left( e^{0{,}5x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\) beschrieben. Der Graph der Funktion \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von \(G_{g}\) mit den Koordinatenachsen. Hinweis: Verwenden Sie die Substitution \(u = e^{0{,}5x}\) zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

d) Berechnen Sie den Winkel, unter dem \(G_{g}\) die negative \(x\)-Achse schneidet.

e) Die Position der Aufhängung der Deckenleuchte entspricht der Lage des Hochpunkts von \(G_{g}\). Die Aufhängung ist 85 cm von der Decke entfernt. Berechnen Sie die Raumhöhe \(h\) des Hausflurs, an dessen Decke die Deckenleuchte angebracht ist.

 

Aufgabe 6

Der Punkt \(A(4|-1|0)\) ist Mittelpunkt der Kugel \(K\), auf deren Oberfläche der Punkt \(B(-1|1|4)\) liegt. 

Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt.

Lösung - Aufgabe 1

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen.

 

a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\)

b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\)

Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\)

Lösung - Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

 

a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)

b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)

Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

 

a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)

b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\).

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\).

 

a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\).

b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf deren Oberfläche der Punkt \(A\) liegt. Untersuchen Sie mithilfe der Kugelgleichung, ob der Punkt \(B\) innerhalb der Kugel \(K\), auf der Kugeloberfläche von \(K\) oder außerhalb von \(K\) liegt.

 

Aufgabe 5

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?