Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

  • In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E \colon x_{1} + x_{3} = 2\), der Punkt \(A\left( 0|\sqrt{2}|2 \right)\) und die Gerade \(\displaystyle g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), gegeben.

    Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene \(E\) im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene \(E\) die Gerade \(g\) enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse und mit der \(x_{3}\)-Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene \(E\) sowie den Verlauf der Geraden \(g\) in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).

    Abbildung zu Teilaufgabe a Geometrie 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2015

     

    (6 BE)

  • Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_{0}\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -13 \end{pmatrix}\) dargestellt.

    Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

    (6 BE)

  • Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

    (3 BE)

  • Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

    (3 BE)

  • Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,.\)

    Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist, dass \(g\) und \(E\) genau einen gemeinsamen Punkt haben:

    \[\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = -72 \neq 0\]

    (1 BE)

  • Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt.

    (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\))

    (5 BE)

  • Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\).

    Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) liegt.

    (2 BE) 

  • Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene \(E\) haben, wenn für jeden Punkt \(P\) dieser Geraden die Pyramide \(ABCP\) das gleiche Volumen wie die Pyramide \(ABCS\) besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort.

    (3 BE)

  • Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell durch die Gerade

    \[g\colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R \;,\]

    beschrieben wird.

     

    Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand von 20 m zum Hang fliegt.

    (3 BE)