Linearfaktoren
Teilaufgabe 1a
Abb. 1
Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) drittens Grades mit Definitionsmenge \(\mathbb R\). \(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 0\), \(x = 5\) und \(x = 10\) und verläuft durch den Punkt \((1|2)\).
Ermitteln Sie einen Funktionsterm von \(f\).
(zur Kontrolle: \(f(x) = \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 15x^{2} + 50x)\))
(4 BE)
Teilaufgabe 2d
In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}4 \cdot (2t^{3} - 39t^{2} + 180t)\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und \(g(t)\) die momentane Änderungsrate des Volumens in \(\frac{\sf{m^{3}}}{\sf{h}}\).
Begründen Sie, dass die Funktionswerte von \(g\) für \(0 < t < 7{,}5\) positiv und für \(7{,}5 < t < 12\) negativ sind.
(4 BE)
