Mathematik Abitur Bayern 2011 G8

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\). Die Abbildung zeigt den in \(\mathbb R\) streng monoton fallenden Graphen \(G_h\) von \(h\) sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = 1{,}5\) gegeben ist.

    Beschreiben Sie, wie \(G_h\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) hervorgeht.

    Abbildung Teilaufgabe 2a: Exponetialfunktion h, streng monoton fallend, Asymptote =1,5

    (4 BE)

  • Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

    (7 BE)

  • Das Dreieck \(ABC\) aus Aufgabe \(a\) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\).

     

    Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

    (mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)

    (3 BE)

  • Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide.

    (Teilergebnis: \(V = 216\))

    (7 BE)

  • Alle Punkte \(C^\ast\) im Raum, die zusammen mit \(A\) und \(B\) ein zum Dreieck \(ABC\) kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise.

    (6 BE)

  • Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird.

    (5 BE)

  • Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene \(E\) haben, wenn für jeden Punkt \(P\) dieser Geraden die Pyramide \(ABCP\) das gleiche Volumen wie die Pyramide \(ABCS\) besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort.

    (3 BE)

  • In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(1|7|3)\), \(B\,(6|-7|1)\) und \(C\,(-2|1|-3)\) gegeben.

    Weisen Sie nach, dass die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypothenuse die Strecke \([AB]\) ist und dessen kürzere Kathete die Länge 9 hat.

    (4 BE)

  • Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell durch die Gerade

    \[g\colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -20 \\ 40 \\ 40 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end {pmatrix}\,, \enspace \lambda \in \mathbb R \;,\]

    beschrieben wird.

     

    Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand von 20 m zum Hang fliegt.

    (3 BE)

  • Das Rechteck \(OABC\) ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive \(x_1\)-Achse beschreibt die südliche, die positive \(x_2\)-Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d.h. die Länge des Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 60 m.).

    Obwohl das Rechteck \(OABC\) den Flächeninhalt 6000 besitzt, ist das Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe von 4800 m2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus Aufgabe b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.

    (3 BE)

  • Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung.

    Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen Verankerungspunkts \(V_O\) bzw. \(V_N\).

    (5 BE)

  • Bei einer Routineinspektion wird die Passagierkabine eines zufällig ausgewählten Flugzeugs des Typs X überprüft. Ein Mangel der Beleuchtung sowie ein Mangel der Klimaanlage liegen bei Flugzeugen dieses Typs jeweils mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vor; diese Wahrscheinlichkeiten können der folgenden Vierfeldertafel entnommen werden.

    Vierfeldertafel zu Teilaufgabe 3a - Stichhastik II - G8 Mathematik Abitur Bayern 2011

    \(B\): Beleuchtung einwandfrei

    \(\overline{B}\): Beleuchtung mangelhaft

    \(K\): Klimaanlage einwandfrei

    \(\overline{K}\): Klimaanlage mangelhaft

    Bestimmen Sie den Wert von \(x\) und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis in Worten.

    (3 BE)

  • Bei Flugzeugen eines anderen Typs Y liegt ein Mangel der Klimaanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, beträgt 5 %. Wenn mindestens einer der beiden Mängel vorliegt, so funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.

    (5 BE)

  • In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(0|60|0), B\,(-80|60|60)\) und \(C\,(-80|0|60)\) gegeben.

    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A, B\) und \(C\) bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat \(E\,\)? Berechnen Sie die Größe des Winkels \(\varphi\), unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet.

    (mögliche Teilergebnisse: \(E\colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0; \enspace \varphi \approx 36{,}9^\circ\))

    (8 BE)

  • Die Fluggesellschaft hätte für den Test - bei gleichem Signifikanzniveau - anstelle der Nullhypothese

    "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs."

    auch die Nullhypothese

    "Mehr als 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs."

    wählen können. Bei der Wahl der Nullhypothese stand für die Fluggesellschaft eine der beiden folgenden Überlegungen im Vordergrund

    • Der irrtümliche Verzicht auf das Angebot des Premiummenüs wäre mit einem Imageverlust verbunden.

    • Das irrtümliche Angebot des Premiummenüs wäre mit einem finaziellen Verlust verbunden.

    Entscheiden Sie, welche der beiden Überlegungen für die Fluggesellschaft bei der Wahl der Nullhypothese im Vordergrund stand. Erläutern Sie Ihre Entscheidung.

    (3 BE)

  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt bei dem zufällig ausgewählten Flugzeug des Typs X ein Mangel der Klimaanlage vor, wenn die Beleuchtung nicht einwandfrei funktioniert?

    (3 BE)

  • Begründen Sie, dass kein Ergebnis der Umfrage denkbar ist, bei dem \(p_1 > p_2\) ist.

    (2 BE)

  • Ein Investor plant, in einer Gemeinde, die aus den Orten Oberberg und Niederberg bestehen, eine Windkraftanlage zu errichten.

    Um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie die Einwohner zu diesem Vorhaben stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722, in Oberberg 258 Einwohner befragt. 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Windkraftanlage, darunter sind allerdings nur 27 Einwohner von Oberberg. Die übrigen befragten Personen sprechen sich gegen die Windkraftanlage aus.

    Bestimmen Sie jeweils den prozentualen Anteil der Gegner der Windkraftanlage unter den Befragten von Niederberg und unter den Befragten von Oberberg.

    (4 BE)

  • Die Funktion \(g\) hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\):

    \[\textsf{I}\enspace y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

    \[\textsf{II}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{x - 1}\]

    \[\textsf{III}\enspace y = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^2}\]

    Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von \(g\) infrage kommt.

    Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von \(a\).

    (5 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(F : x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+\) eine Stammfunktion der in \(\mathbb R^+\) definierten Funktion \(f : x \mapsto x \cdot \ln x\) ist. Bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(f\), die in \(x = 1\) eine Nullstelle hat.

    (5 BE)

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