Mathematik Abitur Bayern 2012

Mathematik Abitur Bayern - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe e

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(T\) legen die Ebene \(H\) fest; diese zerlegt das Prisma ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind.

(3 BE)

Teilaufgabe f

Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die \(x_1x_2\)-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt \(M\,(5|6{,}5|3)\) ist Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche \(BSTC\) im Punkt \(W\) berührt.

Berechnen Sie den Radius \(r\) der Kugel sowie die Koordinaten von \(W\,\).

(Teilergebnis: \(r = 1{,}5\))

(6 BE)

Teilaufgabe g

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

(5 BE)

Teilaufgabe 4a

Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Nur dann, wenn der Mechanismus nicht funktioniert, wird der Vorhang von Hand zugezogen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

\(A\,\): "Bei einer Aufführung wird der Vorhang kein einziges Mal von Hand zugezogen."

\(B\,\): "Bei einer Aufführung lässt sich der Vorhang zunächst viermal automatisch schließen, insgesamt wird der Vorhang jedoch genau zweimal von Hand zugezogen."

(5 BE)

Teilaufgabe 4

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(]-\infty;5[\) definierten Funktion \(f\,\).

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\,\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für \(f'(0)\), die Nullstelle von \(f'\) und das Verhalten von \(f'\) für \(x \mapsto 5\,\).

Abbildung 1: Graph von fAbb. 1

(4 BE)

Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(10|2|0)\), \(B\,(10|8|0)\), \(C\,(10|4|3)\), \(R\,(2|2|0)\), \(S\,(2|8|0)\) und \(T\,(2|4|3)\) gegeben. Der Körper \(ABCRST\) ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grungfläche \(ABC\), der Deckfläche \(RST\) und rechteckigen Seitenflächen.

Zeichen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Grundfläche \(ABC\,\)? Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
Abbildung: Koordinatensystem

(6 BE)

Teilaufgabe 4b

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)

Teilaufgabe d

Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt \(G\) und schneidet die Seitenwand \(OPQR\) im Punkt \(S\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(S\) sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand \(OPQR\) einschließt.

(6 BE)

Teilaufgabe f

Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden \(k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\,\).

Abbildung 2: quaderförmiges MöbelstückAbb. 2

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite \(b\) des Möbelstücks möglichst genau.

Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden \(k\) die Tiefe \(t\) des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(4 BE)