Mathematik Abitur Bayern 2013

Teilaufgabe 2c

Im Rahmen eines Screenings wird eine sehr große Anzahl zufällig ausgewählter neugeborener Kinder getestet. Ermitteln Sie die pro Million getesteter KInder im Mittel zu erwartende Anzahl derjenigen Kinder, bei denen die Stoffwechselstörung vorliegt und das Testergebnis negativ ist.

(3 BE)

Teilaufgabe 2b

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(P(T)\) und \(P_T(S)\). Interpretieren Sie das Ergebnis für \(P_T(S)\) im Sachzusammenhang.

(zur Kontrolle: \(P(T) \approx 0{,}85\,\%\), \(P_T(S) < 0{,}1\))

(8 BE)

Teilaufgabe 2a

Bei 0,074 % der neugeborenen Kinder liegt eine bestimmte Stoffwechselstörung vor. Wird diese Störung frühzeitig erkannt, lässt sich durch eine geeignete Behandlung eine spätere Erkrankung vermeiden. Zur Früherkennung kann zunächst ein einfacher Test durchgeführt werden. Zeigt das Ergebnis des Tests die Stoffwechselstörung an, so bezeichnet man es als positiv.

Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5 % positiv. Liegt bei einem neugeborenen Kind die Stoffwechselstörung nicht vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis irrtümlich positiv ist, 0,78 %.

Bei einem zufällig ausgewählten neugeborenen Kind wird der Test durchgeführt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(S\): „Die Stoffwechselstörung liegt vor."

\(T\): „Das Testergebnis ist positiv."

Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{S \cup T}\) im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Teilaufgabe 1b

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der Spender die Blutgruppe \(0\) und den Rhesusfaktor \(Rh+\) besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 3c

Für welche Füllhöhen \(x\) liegt der Schwerpunkt \(S\) höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung.

(6 BE)

Teilaufgabe 3b

Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts \(S\) während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass \(x\)-Koordinate und \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts von \(G_f\) übereinstimmen?

(3 BE)

Teilaufgabe 3a

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts \(S\) von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm.

Die bisher betrachtete Funktion \(f\) gibt für \(0 \leq x \leq 15\) die Höhe von \(S\) über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist \(x\) die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3).

Abbildung 3

Abb. 3

 

Berechnen Sie \(f(0)\) und \(f(15)\). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

(8 BE)

Teilaufgabe 2a

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_f\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(Teilergebnis: \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{8}{x}\))

(6 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\,\).

(8 BE)