Mathematik Abitur Bayern 2013

Teilaufgabe 2c

Begründen Sie für \(c > 0\) anhand einer geeigneten Skizze, dass \(\displaystyle \int_0^3 g_c(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + 3c\) gilt.

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Die Anzahl der Nullstellen von \(g_c\) hängt von \(c\) ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von \(c\) an, sodass gilt:

α) \(g_c\) hat keine Nullstelle.

β) \(g_c\) hat genau eine Nullstelle.

γ) \(g_c\) hat genau zwei Nullstellen.

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_c \colon x \mapsto f(x) + c\) mit \(c \in \mathbb R\) betrachtet.

Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von \(g_c\) sowie das Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\) an.

(2 BE)

Teilaufgabe 1e

Die Ursprungsgerade \(h\) mit der Gleichung \(y = \frac{2}{e^2} \cdot x\) schließt mit \(G_f\) für \(x \geq 0\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(B\) vollständig ein.

Berechnen Sie die \(x\)-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden \(h\) mit \(G_f\) und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie \(B\).

(6 BE)

Teilaufgabe 1d

Der Graph von \(f\), die \(x\)-Achse und die Gerade \(x = u\) mit \(u \in \mathbb R^+\) schließen für \(0 \leq x \leq u\) ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(u)\) ein.

Zeigen Sie, dass \(A(u) = 2 - 2e^{-0{,}5u^2}\) gilt. Geben Sie \(\lim \limits_{u \, \to \, + \infty} A(u)\) an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

(6 BE)

Teilaufgabe 1c

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht.

(4 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\))

(6 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung 2Abb. 2 

Weisen Sie nach, dass \(G_f\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt.

(2 BE)

Teilaufgabe 3

Geben Sie für \(x \in \mathbb R^+\) die Lösungen der folgenden Gleichung an:

\[(\ln x - 1) \cdot (e^x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x} - 3 \right) = 0\]

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat.

\(\mathbb W = [2; + \infty[\)

(2 BE)