Monotonieverhalten

Teilaufgabe 2a

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt.

(zur Kontrolle: \(g'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}\))

(5 BE)

Teilaufgabe 1e

Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt.

(3 BE)

Teilaufgabe 1d

Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt.

(2 BE)

Teilaufgabe 1c

Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\).

Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

(4 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))

(5 BE)

Teilaufgabe 1

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\).

(4 BE)

Teilaufgabe 2e

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(A\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2.

Abbildung 2 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))

(4 BE)

Teilaufgabe k

Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) sein und stets mindestens 25 % unter der gesundheitsschädlichen Grenze von 2\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) liegen. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x)\) und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

(5 BE)

Teilaufgabe j

Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist \(x\) die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und \(k(x)\) die Wirkstoffkonzentration in \(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\).

Begründen Sie, dass der Graph von \(k\) streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: \(k'(x) = \dfrac{6e^{2x}}{\left( e^{2x} + 1 \right)^{2}}\))

(4 BE)