Monotonieverhalten

Teilaufgabe 1c

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts \(Q_E(x_E|y_E)\), der von \(P\) den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie \(Q_E\) in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: \(x_E = 1\))

(7 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

 

Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von \(G_f\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts \(E(x_E|y_E)\) von \(G_f\).

(zur Kontrolle: \(x_E = 2 \cdot \ln 3; \enspace f''(x) = 1{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\))

(10 BE)

Teilaufgabe 2a

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften:

  • Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;

  • \(G_g\) verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) gegeben ist;

  • die einzige Nullstelle von \(g\) ist \(x = -1\).

Abbildung 2, Teilaufgabe 2a, Graph der gebrochen-rationalen Funktion g Abb. 2

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung \(g'\) von \(g\) an der Stelle \(x = -1\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung \(g'\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\). Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von \(g'\) in Abbildung 2.

(6 BE)

Teilaufgabe 3a

Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_a : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x\) mit \(a \in \mathbb R^+\) und Definitionsmenge \(\mathbb R\).

 

Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die \(y\)-Achse im selben Punkt schneiden und in \(\mathbb R\) streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = -\infty\) gilt.

(5 BE)

Teilaufgabe 2b

Für \(x \geq 0\) beschreibt die Funktion \(h\) modelhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist \(x\) die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und \(h(x)\) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.

 

Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von \(G_h\) sowie des Grenzwerts von \(h\) für \(x \to +\infty\) an.

(3 BE)