Anzeige nach Tag: Natürliche Logarithmusfunktion

Teilaufgabe 1c

Beschreiben Sie, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(5 BE)

Teilaufgabe 1b

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\).

(2 BE)

Teilaufgabe 1a

Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Durch Spiegelung von \(G_{f}\) an der Geraden \(x = 4\) entsteht der Graph einer in \(]-\infty;8[\) definierten Funktion \(g\). Dieser Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

Zeichnen Sie \(G_{g}\) in Abbildung 1 ein.

(2 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\).

Abbildung Aufgabe 1 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 BAbb. 1

Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen Nullstellen von \(f\) sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts \(T\) von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{4}{x} \cdot \ln{x}\))

(5 BE)

Teilaufgabe 1

Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

\[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\]

\[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\]

(4 BE)

Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

 

Aufgabe 2

Ein Test besteht aus zwölf Fragen, zu denen es jeweils gleich viele Antwortmöglichkeiten gibt. Pro Frage ist genau eine Antwort richtig.

Wie viele Antwortmöglichkeiten darf der Test höchstens nennen, damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet.

 

Aufgabe 3

Abbildung Klausur Q12/2-002 Aufgabe 3, Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach B(n;p) binomialverteilten Zufallsgröße X

Die Abbildung zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(n;p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) und kennzeichnet die Lage des Erwartungswerts \(\mu = E(X)\).

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung und unter Verwendung des Stochastischen Tafelwerks die Werte der Parameter \(n\) und \(p\). Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

 

Aufgabe 4

Die Punkte \(O(0|0|0)\), \(P(5|2|2)\) und \(Q(-2|4|-2)\) legen die Grundfläche \(OPQ\) der Pyramide \(OPQS\) mit dem Volumeninhalt 20 VE (Volumeneinheiten) fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse.

a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))

b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen.

c) Berechnen Sie die Koordinaten der Pyramidenspitze \(S\).

d) Die Menge aller Pyramidenspitzen \(S^{*}\), sodass der Volumeninhalt der Pyramiden \(OPQS^{*}\) stets 20 VE beträgt, ist gegeben durch die Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\) in Normalenform.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(3|4|5)\) und dem Radius \(r = 3\).

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) tangiert.

Lösung - Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\).

Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\) dieselbe Steigung besitzen.

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{g}\) und Veranschaulichen Sie die Stelle \(x_{T}\) durch Eintragung geeigneter geometrischer Elemente. 

b) Begründen Sie rechnerisch, dass \(h(x) = 0\) ein geeigneter Lösungsansatz zur Berechnung von \(x_{T}\) ist. Versuchen Sie nicht, die Gleichung zu lösen!

c) Die Gleichung \(h(x) = 0\) lässt sich näherungsweise mithilfe des Newton-Verfahrens lösen. Begründen Sie, dass \(x_{0} \in [0{,}3;0{,}7]\) ein geeigneter Startwert für die Anwendung des Newton-Verfahrens ist.

d) Berechnen Sie näherungsweise die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung von \(G_{f}\) und \(G_{g}\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_{0} = 0{,}5\) durchführen.

e) Die Gerade \(x = x_{T}\) schneidet \(G_{f}\) im Punkt \(P\) und \(G_{g}\) im Punkt \(Q\). Die Normale \(N_{f}\) durch Punkt \(P\) sowie die Normale \(N_{g}\) durch Punkt \(Q\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Die Gerade \(x = x_{T}\) teilt dieses Flächenstück in zwei gleich große Teilflächen.

Ergänzen Sie Ihre Skizze aus Teilaufgabe a um die Gerade \(x = x_{T}\) sowie die Normalen \(N_{f}\) und \(N_{g}\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\). Beschreiben Sie sodann die wesentlichen Schritte zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\).

Lösung - Aufgabe 3

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:

a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\)

c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\)

 

Aufgabe 2

Abbildung 1 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 2 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 3 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Abbildung 4 Klausur Q12/1-004 Aufgabe 2

Die Abbildungen zeigen den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten und stetigen Funktion \(f\) sowie die Graphen A, B und C.

Entscheiden Sie, welcher der Graphen A, B oder C den Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle I_{0} \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t) dt\) darstellt, indem Sie begründen weshalb die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

 

Aufgabe 3

Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{x}\) und die Normale \(N\) im Punkt \(P(e|f(e))\) schließen im ersten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein.

a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie die Normale \(N\) und schraffieren Sie das Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\). Rechnen Sie mit exakten Werten.

 

Aufgabe 4

Ein Unternehmen stellt Tonerkassette für Laserdrucker her. Eine Tonerkassette vom Typ XL300 kostet in der Herstellung 40 Euro. Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 4 % aller Tonerkassetten vom Typ XL300 defekt sind. Im Falle einer defekten Tonerkassette bekommt ein Kunde diese kostenlos ersetzt. Das Unternehmen möchte pro verkaufter Tonerkassette vonm Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielen.

Zu welchem Preis muss das Unternehmen eine Tonerkassette vom Typ XL300 anbieten?

 

Aufgabe 5

Ein Laplace-Tetraeder (dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt:

Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine der Ziffern 1, 2, 3 oder 4 und wirft das Tetraeder anschließend dreimal. Gewertet wird die Ziffer der Fläche, auf der das Tetraeder zu liegen kommt.

Erzielt der Spieler bei keinem Wurf die gesetzte Ziffer, ist der Einsatz verloren.

Erzielt der Spieler einmal die gesetzte Ziffer, erhält er den Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler zweimal die gesetzte Ziffer, erhält er den doppelten Einsatz zurück.

Erzielt der Spieler dreimal die gesetzte Ziffer, erhält er den dreifachen Einsatz zurück.

Die Zufallsgröße \(G\) beschreibt den Gewinn eines Spielers pro Spiel in Euro.

a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgroße \(G\).

b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße \(G\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.