Nullstelle

Lösung - Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Graph \(G_{f}\) durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) verläuft und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet.

(Teilergebnis: \(f'(x) = -\dfrac{8(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4)^{2}}\))

d) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

e) Zeichnen Sie den Graphen \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

 

a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

 

Aufgabe 2

Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

 

a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

 

a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

 

Aufgabe 5

Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

 

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

Lösung - Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

Lösung - Aufgabe 1

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

(Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

(Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

 

Aufgabe 3

a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

 

α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

 

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

 

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

 

Aufgabe 5

Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

 

Aufgabe 6

Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

 

Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
  Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
    Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

 

Graphen I bis VI:

Graph I Graph II Graph III
Graph IV Graph V Graph VI

Teilaufgabe 1e

Zeichnen Sie den Graphen von \(F\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts \(F(0)\) im Bereich \(-0{,}3 \leq x \leq 3{,}5\) in Abbildung 1 ein.

(4 BE)

Teilaufgabe 2e

Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t) dt\) für \(0 \leq a < b \leq 12\) im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150 m³ Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt.

(6 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen an.

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\).

(2 BE)