Nullstelle

Teilaufgabe 2

Zeigen Sie, dass \(F : x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (2\ln x - 1)\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R^+\) eine Stammfunktion der in \(\mathbb R^+\) definierten Funktion \(f : x \mapsto x \cdot \ln x\) ist. Bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(f\), die in \(x = 1\) eine Nullstelle hat.

(5 BE)

Teilaufgabe 1

Skizzieren Sie den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f : x \mapsto 4 - x^2\). Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

(5 BE)

Teilaufgabe 2a

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_g\) einer in \(\mathbb R \backslash \{1\}\) definierten gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit folgenden Eigenschaften:

  • Die Funktion \(g\) hat in \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;

  • \(G_g\) verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) gegeben ist;

  • die einzige Nullstelle von \(g\) ist \(x = -1\).

Abbildung 2, Teilaufgabe 2a, Graph der gebrochen-rationalen Funktion g Abb. 2

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung \(g'\) von \(g\) an der Stelle \(x = -1\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung \(g'\) für \(x \to +\infty\) und \(x \to -\infty\). Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von \(g'\) in Abbildung 2.

(6 BE)

Teilaufgabe 3b

Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in Abhängigkeit von \(a\) einen Näherungswert \(x_1\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_0 = 0\) durchführen.

(3 BE)

Teilaufgabe 2c

Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.

(5 BE)