Nullstellen
Teilaufgabe 1h
Für einen bestimmten Wert von \(k\) besitzt \(G_{k}\) zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert.
(3 BE)
Teilaufgabe 1g
Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher betrachtetet Funktion \(f\).
Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Nullstellen von \(h_{k}\) an.
(2 BE)
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\).
Zeigen Sie, dass \(f\) genau zwei Nullstellen besitzt.
(2 BE)
Teilaufgabe 2a
Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto (x^{2} - 9x) \cdot \sqrt{2 - x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Geben Sie \(D_{g}\) und alle Nullstellen von \(g\) an.
(3 BE)
Teilaufgabe 3a
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}\). Ihr Graph wird mit \(G_{k}\) bezeichnet.
Geben Sie die Nullstellen von \(k\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(G_{k}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
Teilaufgabe 4a
Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.



(3 BE)
Teilaufgabe 3a
Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.



(3 BE)
Teilaufgabe 1g
Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\)
● die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen,
● beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen,
● jeweils mit der \(x\)-Achse eine Fläche des Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\).
(6 BE)
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\).
Abb. 1
Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen Nullstellen von \(f\) sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts \(T\) von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{4}{x} \cdot \ln{x}\))
(5 BE)
Lösung - Aufgabe 1
Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)
b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)
c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)