Nullstellen
Teilaufgabe 3a
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}\). Ihr Graph wird mit \(G_{k}\) bezeichnet.
Geben Sie die Nullstellen von \(k\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(G_{k}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
Teilaufgabe 4a
Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).
Abb. 2Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Abb. 3(3 BE)
Teilaufgabe 3a
Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\).
Abb. 2Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Abb. 3(3 BE)
Teilaufgabe 1g
Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\)
● die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen,
● beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen,
● jeweils mit der \(x\)-Achse eine Fläche des Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\).
(6 BE)
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\).
Abb. 1
Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen Nullstellen von \(f\) sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts \(T\) von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{4}{x} \cdot \ln{x}\))
(5 BE)
Aufgaben
Aufgabe 1
Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)
b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)
c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.
Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 2\sqrt{6 - x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [0;6]\). Der Punkt \(P(x|f(x))\), der Lotfußpunkt \(L(x|0)\) des Lotes von \(P\) auf die \(x\)-Achse und der Koordinatenursprung \(O\) legen das Dreieck \(OLP\) fest.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\), sodass der Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OLP\) maximal ist.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.
Aufgabe 5
Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.
\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.
\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.
Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.
a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:
α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)
β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)
b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.
c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.
d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.
Lösung - Aufgabe 1
Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)
b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)
c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)
Teilaufgabe 3b
Betrachtet wird nun die Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{0}^{x} f(t)\,dt\) mit Definitionsbereich \(D_{F} = [-5;5]\).
Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass \(F(5) = \frac{25}{4}\pi\) gilt.
Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von \(F\). Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.
