Anzeige nach Tag: Polstelle

Aufgaben

!!! Derzeit in Bearbeitung !!!

 

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

c) Weisen Sie nach, dass der Graph \(G_{f}\) durch den Koordinatenursprung \(O(0|0)\) verläuft und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet.

(Teilergebnis: \(f'(x) = -\dfrac{8(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4)^{2}}\))

d) Bestimmen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

e) Zeichnen Sie den Graphen \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

 

Aufgabe 2

Der Graph \(G_{f}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

\(G_{f}\) hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\).

\(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\).

\(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\).

 

a) Geben Sie einen möglichen Funktionsterm der Funktion \(f\) an und Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(f\).

b) „Der Funktionsterm \(f(x)\) ist durch die genannten Eigenschaften eindeutig bestimmt." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.

 

Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)

a) zwei Extrempunkte

b) einen Terrassenpunkt

besitzt.

 

Aufgabe 4

Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11/1-004

Nach der Einnahme eines Medikaments wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen.

Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden (vgl. Abbildung).

 

a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikaments, zu dem die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut des Patienten noch 10 % der maximalen Konzentration beträgt auf Minuten genau.

(Teilergebnis: \(K'(t) = -\dfrac{100(t^{2} - 25)}{(t^{2} + 25)^{2}}\))

b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Konzentration \(K\) im Zeitintervall \([10;20]\) und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto f(x)\) mit

 

\[f(x) = \vert 2x - 4 \vert = \begin{cases} \begin{align*} 2x - 4 \; \text{falls} \; &x \geq 0 \\[0.8em] -(2x - 4) \; \text{falls} \; &x < 0 \end{align*} \end{cases}\]

 

Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Skizzieren Sie \(G_{f}\) in ein geeignetes Koordinatensystem und begründen Sie geometrisch, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) nicht differenzierbar ist.

Lösung - Aufgabe 2

Der Graph \(G_{f}\) einer gebrochenrationalen Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

\(G_{f}\) hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\).

\(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\).

\(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\).

 

a) Geben Sie einen möglichen Funktionsterm der Funktion \(f\) an und Skizzieren Sie den Graphen der Funktion \(f\).

b) „Der Funktionsterm \(f(x)\) ist durch die genannten Eigenschaften eindeutig bestimmt." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung.

Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

(Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

Teilaufgabe 3a

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.

(2 BE)

Lösung - Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems.

b) Geben Sie die Art und die Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\) an.

c) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f\) an.

Lösung - Aufgabe 1

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).

b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).

d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).

e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).

b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).

d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).

e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

 

Aufgabe 2

Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:

a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)

b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)

 

Aufgabe 3

Abbildung zu Aufgabe 3 Klausur Q11/1-001

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).

a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.

b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).

 

Aufgabe 4

Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). 

d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

Seite 1 von 2