Anzeige nach Tag: Punktsymmetrie

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung zu Teilaufgabe 1a

Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

(5 BE)

Teilaufgabe 1c

Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.

(3 BE)

Teilaufgabe 3b

Geben Sie einen möglichen Term der Funktion \(t\) an. Zeigen Sie für dieses \(t\) die Gültigkeit der Aussage aus Aufgabe 3a durch Integration mithilfe einer Stammfunktion.

(4 BE) 

Teilaufgabe 3a

Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten integrierbaren Funktion \(t\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Begründen Sie, dass für alle \(a \in \mathbb R\) gilt: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} t(x)\,dx = 0\).

(3 BE) 

Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

(8 BE)

Teilaufgabe 2a

Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_f\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(Teilergebnis: \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{8}{x}\))

(6 BE)

Teilaufgabe 3a

Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g \colon x \mapsto e^{-x}\) und \(h \colon x \mapsto x^3\).

Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von \(g\) und \(h\) genau einen Schnittpunkt haben.

(2 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung 2Abb. 2 

Weisen Sie nach, dass \(G_f\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt.

(2 BE)

Teilaufgabe 4b

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)

Teilaufgabe 3b

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von \(f\) und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

(3 BE)