Anzeige nach Tag: Quotientenregel

Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

 

a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)

b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\).

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\).

 

a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\).

b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf deren Oberfläche der Punkt \(A\) liegt. Untersuchen Sie mithilfe der Kugelgleichung, ob der Punkt \(B\) innerhalb der Kugel \(K\), auf der Kugeloberfläche von \(K\) oder außerhalb von \(K\) liegt.

 

Aufgabe 5

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

(Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

Lösung - Aufgabe 3

a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

 

α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

 

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

(Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

 

Aufgabe 3

a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

 

α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

 

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

 

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

 

Aufgabe 5

Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

 

Aufgabe 6

Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

 

Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
  Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
    Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

 

Graphen I bis VI:

Graph I Graph II Graph III
Graph IV Graph V Graph VI

Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

Lösung - Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term.

Aufgaben

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term.

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) und geben Sie die Lage und die Art der lokalen Extrempunkte von \(G_{f}\) an.

 

Aufgabe 4

Graph der Funktion f

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\).

Ordnen Sie dem Graphen der Funktion \(f\) aus den Graphen I bis VI den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) und einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu. Begründen Sie Ihre Wahl.

Graph I
Graph II
Graph III
Graph IV
Graph V
Graph VI

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems.

b) Geben Sie die Art und die Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\) an.

c) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f\) an.

 

Aufgabe 6

Graph einer Funktion f

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\). Die Ableitungsfunktion von \(f\) wird mit \(f'(x)\) bezeichnet, eine Stammfunktion von \(f\) wird mit \(F(x)\) bezeichnet. 

Entscheiden Sie jeweils, ob die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung.

a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen.

b) \(f'(x) < 0\) für \(5{,}5 < x < 6{,}5\)

c) \(f'(6) > f'(7)\)

d) \(f'(4) \approx f'(6)\)

e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\).

f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt.

Lösung - Aufgabe 2

Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:

a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)

b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)

Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).

b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).

d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).

e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

 

Aufgabe 2

Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:

a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)

b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)

 

Aufgabe 3

Abbildung zu Aufgabe 3 Klausur Q11/1-001

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).

a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.

b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).

 

Aufgabe 4

Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

 

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). 

d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.