Rechteck

  • In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

    • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.

    • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen \(G_f\) der Funktion \(f \, \colon x \mapsto -\ln x\) mit \(0 < x < 1\).

    Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

    Abbildung 1 zu Teilaufgabe 4Abb. 1

    Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

    (5 BE)

  • Betrachtet wird die Pyramide \(ABCDS\) mit \(A\,(0|0|0)\), \(B\,(4|4|2)\), \(C\,(8|0|2)\), \(D\,(4|-4|0)\) und \(S\,(1|1|-4)\). Die Grundfläche \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

    Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm \(ABCD\) ein Rechteck ist.

    (2 BE)

  • Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABCD\) ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).

    (4 BE)

  • Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest.

    Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein.
    Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen bestimmten Wert von \(s\) maximal ist, und geben Sie diesen Wert von \(s\) an.

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (zur Kontrolle: \(R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}\))

    (7 BE)

  • Von den Eckpunkten des Rechtecks \(ABCD\) liegen der Punkt \(A(s|0)\) mit \(s \in \;]0;5[\) sowie der Punkt \(B\) auf der \(x\)-Achse, die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(G_f\). Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen.

    (5 BE)

  • Betrachtet wird für jeden Wert \(c \in \mathbb R^+\) das Rechteck mit den Eckpunkten \(P(-c|0)\), \(Q(c|0)\), \(R(c|f(c))\) und \(S\).

    Zeichnen Sie für \(c = 2\) das Rechteck \(PQRS\) in Abbildung 1 ein.

    (1 BE) 

  • Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) die Seitenlängen des Rechtecks \(PQRS\) an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}\) gegeben ist.

    (3 BE) 

  • Das Rechteck \(OABC\) ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive \(x_1\)-Achse beschreibt die südliche, die positive \(x_2\)-Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d.h. die Länge des Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 60 m.).

    Obwohl das Rechteck \(OABC\) den Flächeninhalt 6000 besitzt, ist das Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe von 4800 m2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus Aufgabe b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.

    (3 BE)

  • Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung \(O\) mit den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) ein Rechteck \(OABC\) festlegt. Bestätigen Sie, dass dieses Rechteck den Flächeninhalt 6000 besitzt, und zeichnen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein.

    Abbildung Teilaufgabe b: Koordinatensystem, Lage der Koordinatenachsen

    (6 BE)