Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene

  • Eine Radarstation, deren Position im Modell durch den Punkt \(R\,(20|30|0)\) veranschaulicht wird, erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von 50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) in dem vom Radar erfassten Bereich.

    (6 BE)

  • Das Dreieck \(ABC\) stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt \(P\,(2|2|3)\) gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.

    Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor \(\displaystyle \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}\) beschrieben.

    Geben Sie eine Gleichung der Geraden \(g\) an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(R\), in dem \(g\) die Ebene \(E\) schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.

    (zur Kontrolle: \(R\,(1{,}5|1{,}5|1)\))

    (5 BE)

  • Bestimmen Sie die Koordinaten von \(N\) und \(L\).

    (Teilergebnis: \(N\,(7{,}2|8|7)\))

    (4 BE)

  • An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M \left( 0|3\sqrt{2}|2 \right)\) hat.

    Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im Punkt \(B\). Im Modell stellt \(B\) den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.

    (Teilergebnis: \(B\left( -1|2\sqrt{2}|3 \right)\)) 

    (5 BE)

  • Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_{0}\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -13 \end{pmatrix}\) dargestellt.

    Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

    (6 BE)

  • Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von 10 m über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt \(K_{2}\) beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt \(K_{1}\) entlang der Geraden mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{K_{1}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 2 \end{pmatrix}, \, \lambda \in \mathbb R\), zum Punkt \(K_{2}\).

    Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K_{2}\).

    (Ergebnis: \(K_{2}(51|100|10)\))

    (3 BE)

  • Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H(50|70|15)\) beschrieben.

    Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt.

    (Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} - 150 = 0\))

    (7 BE)

  • Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R\) ist eine Gerade \(g_{a}\) gegeben durch \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\).

    Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des Punkts, in dem \(g_{a}\) die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene schneidet.

    (2 BE)

  • Ein zweiter Bohrkanal wird benötigt, durch den das entnommene Wasser abgekühlt zurück in die wasserführende Gesteinsschicht geleitet wird. Der Bohrkanal soll geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche verlaufen. Für den Beginn des Bohrkanals an der Erdoberfläche kommen nur Bohrstellen in Betracht, die im Modell durch einen Punkt \(B(t|-t|0)\) mit \(t \in \mathbb R\) beschrieben werden können.

    Zeigen Sie rechnerisch, dass der zweite Bohrkanal die wasserführende Gesteinsschicht im Modell im Punkt \(T(t|-t|-4{,}3)\) erreicht, und erläutern Sie, wie die Länge des zweiten Bohrkanals bis zur wasserführenden Gesteinsschicht von der Lage der zugehörigen Bohrstelle beeinflusst wird.

    (3 BE)

  • Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar.

    Abbildung 2 Geometrie 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

    (4 BE)

  • Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von \(g\) und \(E\) und zeigen Sie, dass \(S(0{,}5|6{,}5|0)\) der Schnittpunkt von \(g\) und \(E\) ist.

    (5 BE)

  • Mit einem Lasermessgerät soll ein Verkehrsschild angepeilt werden. Diese Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt \(P(104|-42|10)\) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor \(\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene liegt und den Mittelpunkt \(M(0|0|20)\) sowie den Radius 3 hat.

    Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild trifft.

    (5 BE)

  • Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt \(K\) dargestellt wird.

    Bestimmen Sie rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht.

    (5 BE)

  • Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{15}E}\) dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt \(T\) beschrieben. Die Lote durch die Punkte \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) und \(S_{15}\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene schneiden diese in den Punkten \(E'\), \(F'\), \(G'\), \(H'\) bzw. \(S'\). Diese sind zusammen mit der Grundfläche der Pyramide und dem Punkt \(T\) in Abbildung 3 dargestellt.

    Abbildung 3 Geometrie 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2023Abb. 3

    Berechnen Sie die Koordinaten von \(T\).

    (3 BE) 

  • Der Umkreis des Dreiecks \(ABC\) und der Punkt \(S\) legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide \(ABCS\).

    (7 BE)

  • Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird.

    (5 BE)

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