Sekante

  • Abbildung Klausur Q11/2-005 Aufgabe5, modellhafter Verlauf einer Wasserrrutsche 

    Die Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der Realität.

    a) Bestimmen Sie die maximale Höhe der Rutsche durch Rechnung.

    b) Berechnen Sie das mittlere Gefälle der Rutsche im Intervall \([6;10]\).

    c) Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, um die steilste Stelle der Rutsche im Intervall \([5;14]\) rechnerisch zu ermitteln.

  • Abbildung Aufgabe 5 Klausur Q11/2-005

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\).

    a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) und veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise durch geeignete Eintragungen in die Abbildung. Entscheiden Sie, ob es im dargestellten Bereich des Graphen \(G_p\) ein Intervall gibt, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

    b) Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\). Veranschaulichen Sie diesen in der Abbildung und bestimmen Sie damit näherungsweise den Grenzwert.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode.

     

    Aufgabe 2

    Abbildung Aufgabe 5 Klausur Q11/2-005

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\).

    a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) und veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise durch geeignete Eintragungen in die Abbildung. Entscheiden Sie, ob es im dargestellten Bereich des Graphen \(G_p\) ein Intervall gibt, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

    b) Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\). Veranschaulichen Sie diesen in der Abbildung und bestimmen Sie damit näherungsweise den Grenzwert.

     

    Aufgabe 3

    Abbildung Aufgabe 3 Klausur Q11/2-005, Graph einer Funktion k

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\).

    a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern.

    b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Achten Sie auf ausreichende Genauigkeit.

     

    Aufgabe 4

    Die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}5x^2\) im Punkt \(P(2|f(2))\) und die Normale bilden mit der \(x\)-Achse das Dreieck \(PQR\).

    a) Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze.

    b) Berechnen Sie den Flächeninhalt sowie die Innenwinkel des Dreiecks.

     

    Aufgabe 5

    Abbildung Klausur Q11/2-005 Aufgabe5, modellhafter Verlauf einer Wasserrrutsche 

    Die Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der Realität.

    a) Bestimmen Sie die maximale Höhe der Rutsche durch Rechnung.

    b) Berechnen Sie das mittlere Gefälle der Rutsche im Intervall \([6;10]\).

    c) Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, um die steilste Stelle der Rutsche im Intervall \([5;14]\) rechnerisch zu ermitteln.

     

    Aufgabe 6

    Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen Sie als Startwert \(x_0 = 1\).

    (Zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punktes: \(\approx 1{,}11617\))

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

     

    a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

    b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

  • An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt \(t\) (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung \(n(t) = 3t^{2} - 60t + 500\) beschrieben werden.

    Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

    (3 BE)

  • An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt \(t\) (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung \(n(t) = 3t^{2} - 60t + 500\) beschrieben werden.

    Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

    (3 BE)

  • Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert \(x_{m}\) könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.

    (3 BE)

  • Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle \(x_0 \in \mathbb R^+\), für die gilt: Die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle \(x_0\) stimmt mit der mittleren Änderungsrate von \(g\) im Intervall \([1;4]\) überein.

    (3 BE)

  • Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht.

    (4 BE)