Stochastik 1

  • Vor einer Schule stehen zehn Fahrräder nebeneinander; zwei davon sind Mountainbikes. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Mountainbikes unmittelbar nebeneinander stehen, wenn die Anordnung der Fahrräder zufällig erfolgte.

    (3 BE)

  • Die beiden entnommenen Bausteine haben tatsächlich die gleiche Farbe. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bausteine rot sind.

    (2 BE)

  • Der Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt ein Sechstel. Aus der Bevölkerung werden acht Personen zufällig ausgewählt. Zwei der folgenden Terme I bis VI beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf dieser Personen Linkshänder sind. Geben Sie diese beiden Terme an.

    \[\textsf{I} \enspace \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)\]

    \[\textsf{II} \enspace \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

    \[\textsf{III} \enspace 1 - \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5\]

    \[\textsf{IV} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3\]

    \[\textsf{V} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

    \[\textsf{VI} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5\]

    (2 BE)

  • Eine Kiste enthält vier blaue, zwei gelbe und drei rote Bausteine. Zwei Bausteine werden zufällig entnommen.

    Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bausteine die gleiche Farbe haben, \(\frac{5}{18}\) beträgt.

    (3 BE)

  • Die Abbildung zeigt Daten zu den Rauchergewohnheiten der Bevölkerung Deutschlands, die das Statistische Bundesamt auf der Grundlage einer repräsentiven statistischen Erhebung veröffentlicht hat.

    Abbildung zu Aufgabengruppe Stochastik 1

    Der Abbildung lässt sich beispielsweise entnehmen, dass 17 % der 65- bis 69-jährigen Männer rauchen. Somit kann im Folgenden davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Mann aus dieser Altersgruppe raucht, 17 % beträgt.

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter 25- bis 29-jähriger Mann Nichtraucher ist.

    (2 BE)

  • Ermitteln Sie, wie viel Prozent der Bevölkerung in der Altersgruppe der 25- bis 29-jährigen rauchen. Gehen Sie davon aus, dass zu dieser Altersgruppe gleich viele Frauen und Männer gehören.

    (2 BE)

  • In einem Zeitungsartikel ist zu lesen, dass die Anzahl rauchender Männer im Alter von 40 bis 44 Jahren mit 1,1 Millionen größer ist als die entsprechende Anzahl unter den 25- bis 29-jährigen mit 0,9 Millionen. Erläutern Sie, unter welcher Voraussetzung diese Zeitungsmeldung mit der Abbildung in Einklang stehen kann.

    (3 BE)

  • Vier Frauen wurden zufällig ausgewählt. Zwei gehören zur Altersgruppe der 40- bis 44-jährigen und jeweils eine zu den Altersgruppen der 55- bis 59-jährigen und 65- bis 69-jährigen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Frauen mindestens eine Raucherin ist.

    (4 BE)

  • Zehn 40- bis 44-jährige Frauen wurden zufällig ausgewählt.

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

    \(A\,\colon\;\)„Unter ihnen sind genau drei Raucherinnen."

    \(B\,\colon\;\)„Unter ihnen sind höchstens vier Raucherinnen." 

    (4 BE)

  • Ein Skeptiker nimmt an, dass der Anteil der Raucherinnen unter den 40- bis 44-jährigen Frauen größer als 30 % ist. Er testet die Nullhypothese \(H_0\,\colon\;p \leq 0{,}3\); dabei gibt \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine 40- bis 44-jährige Frau raucht. Im Rahmen des Tests stellt er jeder der zehn ausgewählten Frauen die Frage „Rauchen Sie?" und erhält dabei folgende Antworten: Ja - Nein - Ja - Nein - Ja - Ja - Nein - Nein - Nein - Ja. Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Annahme des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von 5 % stützt.

    (5 BE)

  • In Urne A befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne B enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:

    Aus Urne A wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt; danach wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne A gelegt.

    Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne A nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.

    (2 BE)

  • Betrachtet wir das Ereignis \(E\): „Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne A." Untersuchen Sie, ob das Ereignis \(E\) eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.

    (3 BE)

  • Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 und der Länge 20. Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}9^{20} + 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19}\) angegeben wird.

    (2 BE)

  • Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) mit \(p_1, p_2 \in [0;1]\).

    Tabelle zu Teilaufgabe 3

    Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von \(X\) nicht größer als 2,2 sein kann.

    (3 BE)

  • Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde in Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von 12 bis 19 Jahren mit Informationen und Medien untersucht. In der folgenden Tabelle werden ausgewählte Ergebnisse der Studie anhand einer repräsentativen Auswahl von 200 Jugendlichen wiedergegeben, von denen 102 Jungen sind. Dabei werden für vier Geräteklassen jeweils die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jungen unter den 200 ausgewählten Jugendlichen angegeben, die ein entsprechendes Gerät besitzen.

    Tabelle zur Aufgabengruppe Stochastik 1

    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.

    (2 BE)

  • Aus den 200 Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.

    (2 BE)

  • Begründen Sie, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät." und „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen." abhängig sind.

    (2 BE)

  • Der Studie zufolge besitzen 55 % der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät.

    Geben Sie den Wert der Summe \(\sum \limits_{i \, = \, 0}^{12} B(25;0{,}55;i)\) in Prozent an. Begründen Sie, dass der Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den 25 Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzen.

    (3 BE)

  • Der JIM-Studie zufolge besitzen deutlich weniger als 90 % der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als 90 % der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.

    Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten 12- bis 19-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens 5 % betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.

    (4 BE)

  • Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.

    (3 BE)