Tangente an den Graphen einer Funktion

Teilaufgabe 1c

Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\).

Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

(4 BE)

Teilaufgabe 3a

Betrachtet werden eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(p\) und der Punkt \(Q(2|p(2))\).

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q\) ermitteln kann.

(2 BE)

Teilaufgabe 4b

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(Q_{a}\) wird mit \(t_{a}\) bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft.

(3 BE)

Teilaufgabe 1c

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente \(t\) an \(G_{f}\) im Punkt \((3|f(3))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein.

(4 BE)

Teilaufgabe 2b

Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat.

(2 BE)

Teilaufgabe 2d

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels \(\alpha\), den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).

(2 BE)

Teilaufgabe 2c

Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert \(x_{m}\) könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((8|g(8))\).

(4 BE)

Teilaufgabe 1b

Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).

(6 BE)

Teilaufgabe 2

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:

(1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).

(2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.

(3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.

(5 BE)