Tangente an den Graphen einer Funktion

Teilaufgabe 1b

Weisen Sie nach, dass die Steigung von \(G_f\) in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(G_f\) die \(x\)-Achse schneidet.

(4 BE)

Teilaufgabe 5

Betrachtet werden die folgenden Funktionsterme mit \(r,s \in \mathbb N\):

\(e(x) = \sqrt{x - r} \qquad \qquad  \\ \)\(f(x) = \ln x \qquad \qquad \\ \)\(\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x} + s\)

Jeder der Terme beschreibt genau einen der folgenden Funktionsgraphen I,II und III. Ordnen Sie die Terme den Graphen zu und geben Sie die Werte der Parameter \(r\) und \(s\) an; begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

Graph I
Graph II
Graph III

(5 BE)

Teilaufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle b\,\colon x \mapsto \frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\).

(6 BE) 

Teilaufgabe 2

An den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s\,\colon x \mapsto x^2\) gibt es genau eine Tangente, deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse eine Größe von 135° hat. Geben Sie die Steigung dieser Tangente an und bestimmen Sie anschließend die Gleichung der Tangente.

(5 BE) 

Teilaufgabe 4b

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.

(2 BE)

Teilaufgabe 1c

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht.

(4 BE)

Teilaufgabe 1b

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\).

(4 BE)

Teilaufgabe 4

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(]-\infty;5[\) definierten Funktion \(f\,\).

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\,\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für \(f'(0)\), die Nullstelle von \(f'\) und das Verhalten von \(f'\) für \(x \mapsto 5\,\).

Abbildung 1: Graph von fAbb. 1

(4 BE)

Teilaufgabe 3b

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).

(4 BE)

Teilaufgabe 1d

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Achsenschnittpunkt \(S\).

(Ergebnis: \(y = 0{,}18x + 0{,}2\))

(2 BE)