Verhalten im Unendlichen

  • Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-2x-4}{x^3+6x^2+9x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

    a) Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an. Untersuchen Sie \(f\) auf Polstellen und geben Sie \(D_f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten von \(G_f\) an den Definitionslücken.

    b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten.

    c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x < 4\) in ein Koordinatensystem.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x(x-3)}{(x-2)^2}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

    a) Geben Sie \(D_f\) an und entscheiden Sie, welcher der Graphen I bis IV den Graphen der Funktion \(f\) darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph I

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph II

     

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph III

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph IV

    b) Graph IV zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \(g\), der eine schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 4\) besitzt. Die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g\) mit den Koordinatenachsen sowie die Polstelle von \(g\) sind ganzzahlig.

    Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt.

    \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\]

    \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\]

    \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]

    \[\text{D}\quad\frac{1}{2-x}-x-4\]

  • Abbildung Aufgabe 3 Klausur Q11/2-005, Graph einer Funktion k

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\).

    a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern.

    b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Achten Sie auf ausreichende Genauigkeit.

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

    a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

    b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

    c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um \(2\) in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode.

     

    Aufgabe 2

    Abbildung Aufgabe 5 Klausur Q11/2-005

    Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\).

    a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die mittlere Änderungsrate von \(p\) im Intervall \([-2;2]\) und veranschaulichen Sie Ihre Vorgehensweise durch geeignete Eintragungen in die Abbildung. Entscheiden Sie, ob es im dargestellten Bereich des Graphen \(G_p\) ein Intervall gibt, in dem die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz.

    b) Erklären Sie die Bedeutung des Grenzwerts \(\lim \limits_{x\,\to\,-2}\dfrac{p(x) - p(-2)}{x + 2}\). Veranschaulichen Sie diesen in der Abbildung und bestimmen Sie damit näherungsweise den Grenzwert.

     

    Aufgabe 3

    Abbildung Aufgabe 3 Klausur Q11/2-005, Graph einer Funktion k

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\).

    a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern.

    b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Achten Sie auf ausreichende Genauigkeit.

     

    Aufgabe 4

    Die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}5x^2\) im Punkt \(P(2|f(2))\) und die Normale bilden mit der \(x\)-Achse das Dreieck \(PQR\).

    a) Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze.

    b) Berechnen Sie den Flächeninhalt sowie die Innenwinkel des Dreiecks.

     

    Aufgabe 5

    Abbildung Klausur Q11/2-005 Aufgabe5, modellhafter Verlauf einer Wasserrrutsche 

    Die Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der Realität.

    a) Bestimmen Sie die maximale Höhe der Rutsche durch Rechnung.

    b) Berechnen Sie das mittlere Gefälle der Rutsche im Intervall \([6;10]\).

    c) Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, um die steilste Stelle der Rutsche im Intervall \([5;14]\) rechnerisch zu ermitteln.

     

    Aufgabe 6

    Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen Sie als Startwert \(x_0 = 1\).

    (Zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punktes: \(\approx 1{,}11617\))

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\).

    a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese graphisch.

    b) Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung hervor, wobei er die Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 3\) und \(y = -2\) besitzt. Geben Sie die zugehörige Verschiebung in \(x\)-Richtung und in \(y\)-Richtung an sowie einen Funktionsterm von \(g\).

    c) Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung mit dem Faktor 3 in \(y\)-Richtung und eine anschließende Verschiebung um 2 in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von \(h\) und \(k\) unterscheiden sich." Begründen Sie ihre Entscheidung.

     

    Aufgabe 2

    Graph einer Funktion f, Auf Stetigkeit zu beurteilende Stellen x₁,x₂ und x₃

    a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist.

    b) Gegeben ist die Funktion

    \[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax + a &&\text{für} \; x < 1 \\[0.8em] &-2 &&\text{für}\;1 \leq x < 5 \\[0.8em] &b \cdot (x^3 - 10x^2 + 25x)-2 &&\text{für}\;x \geq 5 \end{align*} \end{cases}\enspace\text{mit}\;a, b \in \mathbb R\]

    Bestimmen Sie den Wert von \(a\) so, dass \(g\) an der Stelle \(x = 1\) stetig ist und zeigen Sie, dass \(g\) an der Stelle \(x = 5\) unabhängig vom Wert von \(b\) stetig ist.

      

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x(x-3)}{(x-2)^2}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\).

    a) Geben Sie \(D_f\) an und entscheiden Sie, welcher der Graphen I bis IV den Graphen der Funktion \(f\) darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph I

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph II

     

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph III

    Klausur Q11/1-005 Aufgabe1 Graph IV

    b) Graph IV zeigt den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion \(g\), der eine schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = -x + 4\) besitzt. Die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g\) mit den Koordinatenachsen sowie die Polstelle von \(g\) sind ganzzahlig.

    Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt.

    \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\]

    \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\]

    \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]

    \[\text{D}\quad\frac{1}{2-x}-x-4\]

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{-2x-4}{x^3+6x^2+9x}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

    a) Geben Sie die Nullstelle von \(f\) an. Untersuchen Sie \(f\) auf Polstellen und geben Sie \(D_f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten von \(G_f\) an den Definitionslücken.

    b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten.

    c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x < 4\) in ein Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 5

    a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\).

    (Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\))

    b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen Funktion \(f\) schließen. Geben sie diese an und beschreiben Sie kurz wie sich der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 2\) verhält.

     

    Aufgabe 6

    Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.

    Betrachte werden folgende Ereignisse:

    \(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",

    \(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".

    a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.

    b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung

    1. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
    2. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.

    c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

  • Abbildung zu Aufgabe 2 Klausur Q11/2-002

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 4 - 2e^{x - 4}\).

     

    a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

    b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist.

    c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an. Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) in das obige Koordinatensystem.

  • Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an.

    b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    c) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

  • Einer der folgenden Graphen gehört zu der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x + 3}{e^{x}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Geben Sie an, welcher der Graphen I, II oder III den Graphen \(G_{f}\) zeigt und begründen Sie jeweils, warum die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

    Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11 2 002

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

     

    a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

    b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

    c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

    d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen einer Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

  • Aufgabe 1

    Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).

    b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

    c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).

    d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).

    e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 2

    Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:

    a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)

    b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)

     

    Aufgabe 3

    Abbildung zu Aufgabe 3 Klausur Q11/1-001

    Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).

    a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.

    b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).

     

    Aufgabe 4

    Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

    c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). 

    d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

    e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

    f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

    c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\).

    d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.

    e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).

    f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term.

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

    b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

    c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

    e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) und geben Sie die Lage und die Art der lokalen Extrempunkte von \(G_{f}\) an.

     

    Aufgabe 4

    Graph der Funktion f

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\).

    Ordnen Sie dem Graphen der Funktion \(f\) aus den Graphen I bis VI den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\) und einer zugehörigen Stammfunktion \(F\) zu. Begründen Sie Ihre Wahl.

    Graph I

    Graph II

    Graph III

    Graph IV

    Graph V

    Graph VI

     

    Aufgabe 5

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems.

    b) Geben Sie die Art und die Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\) an.

    c) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f\) an.

     

    Aufgabe 6

    Graph einer Funktion f

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\). Die Ableitungsfunktion von \(f\) wird mit \(f'(x)\) bezeichnet, eine Stammfunktion von \(f\) wird mit \(F(x)\) bezeichnet. 

    Entscheiden Sie jeweils, ob die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung.

    a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen.

    b) \(f'(x) < 0\) für \(5{,}5 < x < 6{,}5\)

    c) \(f'(6) > f'(7)\)

    d) \(f'(4) \approx f'(6)\)

    e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\).

    f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems.

    b) Geben Sie die Art und die Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\) an.

    c) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f\) an.

  • Aufgabe 1

    Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge sowie die Nullstelle(n) und die Polstelle(n) der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen der Funktion \(f\).

    b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

    c) Leiten Sie die Funktion \(f\) sowohl mit der Produkt- als auch der Quotientenregel ab.

    (Zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{-4x - 8}{x^{3}}\))

    d) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

    e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\).

     

    Aufgabe 3

    a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

     

    α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

    β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

    γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

     

    b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\).

     

    a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\).

    b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten.

     

    Aufgabe 5

    Florian behauptet: „Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich."

    Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung.

     

    Aufgabe 6

    Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

    Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

     

    Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
      Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
        Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

     

    Graphen I bis VI:

    Graph I Graph II Graph III
    Graph IV Graph V Graph VI
  • Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen.

     

    a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\)

    b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\)

     

    Aufgabe 2

    Abbildung zu Aufgabe 2 Klausur Q11/2-002

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 4 - 2e^{x - 4}\).

     

    a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. Bestimmen Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

    b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist.

    c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an. Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) in das obige Koordinatensystem.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an.

    b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.

    c) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung absoluter Tiefpunkt von \(G_{f}\) ist. Geben Sie die Wertemenge der Funktion \(f\) an.

     

    Aufgabe 4

    Einer der folgenden Graphen gehört zu der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x + 3}{e^{x}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    Geben Sie an, welcher der Graphen I, II oder III den Graphen \(G_{f}\) zeigt und begründen Sie jeweils, warum die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

    Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11 2 002

     

    Aufgabe 5

    An der Decke eines Hausflurs ist eine Deckenleuchte angebracht. Die Randlinie des Lichtkegels der Deckenleuchte kann näherungsweise durch die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto -3 \cdot \left( e^{0{,}4x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\) beschrieben werden mit \(x\) und \(y\) in Metern (vgl. Abbildung). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

     

    Abbildung zu Aufgabe 5 Klausur Q11 2 002

     

    a) Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems ist.

    b) Ersetzen Sie einen Zahl \((\neq 0)\) des Funktionsterms \(f(x)\) so, dass \(G_{f}\) symmetrisch ist und geben Sie die Art der Symmetrie an.

    Eine Feinjustierung der LEDs der Deckenleuchte verändert den Lichtkegel. Die Randlinie des Lichtkegels wird nun näherungsweise durch die Funktion \(g \colon x \mapsto -3 \cdot \left( e^{0{,}5x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\) beschrieben. Der Graph der Funktion \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet.

    c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von \(G_{g}\) mit den Koordinatenachsen. Hinweis: Verwenden Sie die Substitution \(u = e^{0{,}5x}\) zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

    d) Berechnen Sie den Winkel, unter dem \(G_{g}\) die negative \(x\)-Achse schneidet.

    e) Die Position der Aufhängung der Deckenleuchte entspricht der Lage des Hochpunkts von \(G_{g}\). Die Aufhängung ist 85 cm von der Decke entfernt. Berechnen Sie die Raumhöhe \(h\) des Hausflurs, an dessen Decke die Deckenleuchte angebracht ist.

     

    Aufgabe 6

    Der Punkt \(A(4|-1|0)\) ist Mittelpunkt der Kugel \(K\), auf deren Oberfläche der Punkt \(B(-1|1|4)\) liegt. 

    Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt.

  • Einer der folgenden Terme nähert den Term der in \(\mathbb R \, \backslash \{0\}\) definierten Funktion \(u \,\colon x \mapsto \dfrac{1}{x} + x + 1\) für große Werte von \(x\) am besten. Geben Sie diesen Term an und machen Sie Ihre Antwort plausibel.

    \(\textsf{I} \enspace \dfrac{1}{x} \qquad \quad \)\(\textsf{II} \enspace x \qquad \quad \)\(\textsf{III} \enspace x + 1 \qquad \quad \)\(\textsf{IV} \enspace \dfrac{1}{x} + 1 \qquad \quad \)\(\textsf{V} \enspace \dfrac{1}{x} + x\)

    (3 BE)

Seite 1 von 5