Anzeige nach Tag: Verhalten im Unendlichen

Teilaufgabe k

Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens 60 Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als 0,75\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) sein und stets mindestens 25 % unter der gesundheitsschädlichen Grenze von 2\(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\) liegen. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} k(x)\) und beurteilen Sie beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.

(5 BE)

Teilaufgabe g

In der Pharmakologie wird das in positive \(x\)-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse befindet, als AUC (area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion \(f\) die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte \(x\) realistisch beschreiben.

Die \(x\)-Achse, \(G_{f}\) und die Gerade mit der Gleichung \(x = b\) mit \(b \in \mathbb R^{+}\) schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(b)\) ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe d angegebenen Stammfunktion \(F\) einen Term für \(A(b)\) und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion \(f\) auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.

(4 BE)

Teilaufgabe a

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten.

Abbildung Aufgabe a Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Begründen Sie, dass \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Geben Sie die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_{f}\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_{f}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 3a

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph \(G_{k}\) genau einen Wendepunkt \(W_{k}\).

Geben Sie das Verhalten von \(g_{k}\) an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von \(k\) an.

(2 BE)

Teilaufgabe 1a

Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

(3 BE)

Teilaufgabe 1e

Die gebrochen-rationale Funktion \(h \colon x \mapsto 1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\) mit \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\) stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für \(f\) dar.

Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von \(h\) an.

(2 BE)

Teilaufgabe 1c

Begründen Sie, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f'(x) = 0\) gilt. Geben Sie \(f'(0{,}5)\) und \(f'(10)\) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

(6 BE)

Teilaufgabe 4a

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(2 BE)

Teilaufgabe 5a

Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Abbildung 1 Aufgabe 5a Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

Abbildung 2 Analysis 1 Mathematik Abitur Bayern 2018 A

(2 BE)

Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

 

a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen einer Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.