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Lösung - Aufgabe 5

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

Aufgaben

Aufgabe 1

Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

 

a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\)

b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\).

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\).

 

a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\).

b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf deren Oberfläche der Punkt \(A\) liegt. Untersuchen Sie mithilfe der Kugelgleichung, ob der Punkt \(B\) innerhalb der Kugel \(K\), auf der Kugeloberfläche von \(K\) oder außerhalb von \(K\) liegt.

 

Aufgabe 5

Ein Unternehmen fertigt in großer Stückzahl ein elektronisches Bauteil. Bei der Herstellung können zwei Arten von Fehlern auftreten, ein elektrischer Fehler und ein optischer Fehler. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

\(E\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen elektrischen Fehler auf."

\(O\): „Ein zufällig ausgewähltes Bauteil weist einen optischen Fehler auf."

Aus laufender Qualitätskontrolle ist bekannt, dass 5 % der gefertigten Bauteile einen elektrischen Fehler aufweisen. Zudem haben 3 % einen elektrischen, aber keinen optischen Fehler sowie 4 % einen optischen, aber keinen elektrischen Fehler.

 

a) Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E \cup O}\) im Sachzusammenhang.

b) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und geben Sie daraus an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewähltes Bauteil

α) genau einen der beiden Fehler aufweist.

β) höchstens einen der beiden Fehler aufweist.

c) Untersuchen Sie die Ereignisse \(E\) und \(O\) auf Unabhängigkeit.

d) Wie viele Bauteile müssen mindestens zufällig ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein Bauteil zu erhalten, das einen elektrischen Fehler aufweist?

Teilaufgabe 1a

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehen Sie bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass 40 % aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

200 Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind.

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.

\(A\): „Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP."

\(B\): „Die Zufallsgröße \(X\) nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht."

(7 BE)

Teilaufgabe 2b

Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind.

Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.

\(E\): „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."

\(K\): „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."

Geben Sie die Bedeutung von \(P_{K}(E)\) im Sachzusammenhang an und ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit.

(3 BE)

Teilaufgabe 2c

30 der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter genau 40 % mit ESP ausgerüstet sind.

(4 BE)

Teilaufgabe 1a

Nebenstehende Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

Abbildung Teilaufgabe 1a Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2017 A

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Schwarze und weiße Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:

Abbildung Teilaufgabe 2 Stochastik 2 Mathematik Abitur Bayern 2017 A

Aus Urne A wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt. Anschließend wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne C gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel befinden.

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:

Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.

Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.

(3 BE)

Teilaufgabe 1a

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt \(p\).

Interpretieren Sie den Term \((1 - p)^{7}\) im Sachzusammenhang.

((2 BE)