Wendepunkt

  • Aufgabe 1

    Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.

    a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\)

    b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)

     

    c) \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\)

    d) \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\)

     

    Aufgabe 2

    Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

    a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)

    b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)

     

    Aufgabe 3

    Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

     

    a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.

    b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

     

    Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

     

    Aufgabe 5

    Abbildung zu Klausur Q12/1 001 Aufgabe 5

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

     

    a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

    b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

     

    Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

  • Abbildung zu Klausur Q12/1 001 Aufgabe 5

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

     

    a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

    b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

  • Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    (zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

    c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

    (zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

    d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

    f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

    g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

  • Aufgabe 1

    Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

    a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)

    b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

    b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).

    (zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))

    c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).

    (zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))

    d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

    e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.

    f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).

    g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.

     

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).

    Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.

     

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).

    a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen.

    b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].

     

    Aufgabe 5

    Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).

    a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.

    b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

  • Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

    (3 BE)

  • Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \, \colon \mapsto g(x)\) besitzt für \(-5 \leq x \leq 5\) zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I, II und III zur zweiten Ableitungsfunktion \(g''\) von \(g\) gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    Graph I zu Teilaufgabe 3

    Graph II zu Teilaufgabe 3

    Graph III zu Teilaufgabe 3

    (2 BE)

  • Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. 

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\).

    Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

    (3 BE)

  • Der Graph \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

    \(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\).

    (Ergebnis: \(a = 1, b = -2\))

    (4 BE)

  • Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für \(0 \leq t \leq 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) und \(x \in \mathbb R\).

    Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von \(f\) auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

    (3 BE)

  • Begründen Sie, dass \(2{,}5\) die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts von \(G_{f}\) ist.

    (2 BE)

  • Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

    Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\).

    (2 BE)

  • Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung des Graphen \(G_{k}\) an dessen Wendepunkt \((0|-3)\) sowie die Nullstelle von \(k'\).

    Abbildung 2 zu Teilaufgabe 4 - Analysis 2 - Prüfungsteil A - Mathematik Abitur Bayern 2016

    Abb. 2

    (4 BE)

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