Wendepunkt
Teilaufgabe f
An der Stelle \(x = 2\) hat \(G_{f}\) einen Wendepunkt. Beschreiben Sie, wie man rechnerisch vorgehen könnte, um dies zu begründen. Geben Sie die Bedeutung der \(x\)-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang an.
(3 BE)
Teilaufgabe 3c
Bestimmen Sie den Wert von \(k\) so, dass der zugehörige Wendepunkt \(W_{k}\) auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat.
(4 BE)
Teilaufgabe 3b
Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).
(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))
(3 BE)
Teilaufgabe 1b
Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).
(6 BE)
Teilaufgabe 1b
Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) genau einen Wendepunkt \(W\) besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).
(zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\))
(6 BE)
Teilaufgabe 4
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit dem Wendepunkt \(W(1|4)\).
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x = 1\).
Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von \(f'\) sowie den für \(f'(1)\) ermittelten Näherungswert.
(3 BE)
Lösung - Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.
b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))
c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).
(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))
d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.
f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).
g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.
Aufgaben
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\)
b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\)
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.
b) Berechnen Sie die Lage und die Art der Extrempunkte von \(G_{f}\).
(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(1 - x)\))
c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\).
(zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\))
d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
e) Weisen Sie nach, dass die Funktion \(F\colon x \mapsto -\frac{1}{2}e^{1 - x}(x + 1)\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\) ist.
f) Der Graph \(G_{f}\) und die Wendetangente \(w\) schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein. Schraffieren Sie dieses Flächenstück in der Skizze aus Teilaufgabe d und berechnen Sie den Flächeninhalt \(A\).
g) Berechnen Sie das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) dx\) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses an.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!).
Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\) der in \(\mathbb R^{+}\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt\) so, dass diese mit \(F(x)\) übereinstimmt.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\).
a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden liegen.
b) Eine Gleichung der Geraden \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\). Beschreiben Sie ausgehend von dieser Geradengleichung die Strecke [AB].
Aufgabe 5
Gegeben sind die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\).
a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden.
b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.
Lösung - Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).
a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.
b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.
Aufgaben
Aufgabe 1
Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.
a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\)
b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)
c) \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\)
d) \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\)
Aufgabe 2
Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.
a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)
b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)
Aufgabe 3
Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).
a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.
b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?
Aufgabe 4
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).
Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).
a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.
b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.
