gebrochenrationale Funktion

Teilaufgabe 3a

Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(p \colon x \mapsto \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}\); die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{p}\) von \(p\).

Abbildung Aufgabe 3 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2021

Beschreiben Sie, wie \(G_{p}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h \colon x \mapsto \dfrac{5}{x^{2} + 4}\) schrittweise hervorgeht, und begründen Sie damit, dass \(G_{p}\) bezüglich der Geraden mit der Gleichung \(x = 12\) symmetrisch ist.

(4 BE)

Teilaufgabe 2a

Betrachtet wird die Schar der Funktionen \(f_{a,b,c} \,\colon x \mapsto \dfrac{ax + b}{x^{2} + c}\) mit \(a, b, c \in \mathbb R\) und maximaler Definitionsmenge \(D_{a,b,c}\).

Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\) an.

(1 BE)

Teilaufgabe 1c

Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\).

Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

(4 BE)

Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von \(f\) in den drei Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\))

(5 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2;2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6x}{x^{2} - 4}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Geben Sie die Gleichungen aller senkrechter Asymptoten von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))

(4 BE)

Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\).

Abbildung 1 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und untersuchen Sie anhand des Funktionsterms das Verhalten von \(f\) für \(x \to +\infty\). Bestimmen Sie diejenigen \(x\)-Werte, für die \(f(x) = 0{,}96\) gilt.

(5 BE)

Teilaufgabe 3a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{-x^{2} + 2x}{2x^{2} + 4}\). Ihr Graph wird mit \(G_{k}\) bezeichnet.

Geben Sie die Nullstellen von \(k\) an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(G_{k}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = -0{,}5\) als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 7\) als schräge Asymptote.

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2020

Zeichnen Sie in die Abbildung 1 die Asymptoten von \(G_{h}\) ein und skizzieren Sie im Bereich \(x < 2\) einen möglichen Verlauf von \(G_{h}\).

(3 BE)

Teilaufgabe c

Begründen Sie, dass \(G_{f}\) für \(x < 0\) nur im III. Quadranten verläuft, und zeichnen Sie in die Abbildung den darin fehlenden Teil von \(G_{f}\) ein. Berechnen Sie dazu \(f(-3)\) und drei weitere geeignete Funktionswerte von \(f\).

(4 BE)