gleichschenkliges Dreieck

Teilaufgabe e

\(N(1{,}6|0|3{,}2)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \([KF]\). Begründen Sie, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(S\) auf der Geraden \(EN\) liegt.

(4 BE)

Teilaufgabe a

Die Punkte \(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(C(-6|0|4)\) und \(D\) liegen in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\).

Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(D\) an und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem.

(4 BE)

Teilaufgabe 3a

Für jeden Wert \(k > 0\) legen die auf \(G_{f}\) liegenden Punkte \(P_{k}(-k|f(-k))\) und \(Q_{k}(k|f(k))\) gemeinsam mit dem Punkt \(R(0|1)\) ein gleichschenkliges Dreieck \(P_{k}Q_{k}R\) fest.

Berechnen Sie für \(k = 2\) den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{2}Q_{2}R\) (vgl. Abbildung 3).
Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\) allgemein durch den Term \(A(k) = \dfrac{2k}{k^{2} + 1}\) beschrieben werden kann.

Abbildung 3 Analysis 1 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2020

(5 BE)

Lösung - Aufgabe 5

Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

 

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

Aufgaben

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich.

 

a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\)

b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\)

c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\)

 

Aufgabe 2

Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

 

a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

 

Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

 

a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

 

Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

 

Aufgabe 5

Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest.

 

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\).

c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes \(D\), der das Dreieck \(ABC\) zu einer Raute ergänzt.

d) Berechnen Sie den Winkel \(\measuredangle{DBA} = \varphi\).

e) Der Punkt \(S(4,6,10)\) ist die Spitze der Pyramide \(ABCS\), deren Grundfläche das Dreieck \(ABC\) ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke \([MS]\) des Mittelpunkts \(M\) der Grundkante \([BC]\) und der Pyramidenspitze \(S\) die Höhe der Pyramide \(ABCS\) ist.

f) Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der Pyramide \(ABCS\).

Teilaufgabe e

Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse \(g\) des Dreiecks \(CDS\).

(2 BE)

Teilaufgabe 2b

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 BE)

Teilaufgabe 2b

Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 BE)

Teilaufgabe 2

Gegeben sind die Punkte \(R\,(8|5|1)\), \(S\,(-4|-1|1)\) und \(T_u\,(u|4|3)\) mit \(u \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie einen Wert von \(u\) so, dass die drei Punkte ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \([RS]\) bilden.

(4 BE) 

Teilaufgabe e

Jede Ebene, die parallel zu \(M\) verläuft, wird durch eine Gleichung der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = p\) mit \(p \in \mathbb R\) beschrieben. Nennen Sie die Arten der Figuren, in denen eine solche Ebene den Würfel schneiden kann, und geben Sie die Menge aller Werte von \(p\) an, für die die Schnittfigur ein Sechseck ist.

(4 BE)