senkrechte Asymptote
Teilaufgabe 1e
Die gebrochen-rationale Funktion \(h \colon x \mapsto 1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\) mit \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\) stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für \(f\) dar.
Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von \(h\) an.
(2 BE)
Teilaufgabe 3a
Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.
Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine senkrechte Asymptote.
(2 BE)
Lösung - Aufgabe 1
Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).
b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.
c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).
d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).
e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.
f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
Aufgaben
Aufgabe 1
Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\).
b) Berechnen Sie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.
c) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\).
d) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\).
e) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f}\) an.
f) Skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
Aufgabe 2
Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:
a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)
b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)
Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\).
a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an.
b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\).
Aufgabe 4
Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\).
b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\).
d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse.
e) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art aller Extrempunkte von \(G_{f}\).
f) Zeichnen Sie \(G_{f}\) sowie die Tangente \(T\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
Teilaufgabe 1d
Berechnen Sie \(f(-5)\) und \(f(-1{,}5)\) und skizzieren Sie \(G_{f}\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.
(4 BE)
Teilaufgabe 1b
Begründen Sie, dass die \(x\)-Achse horizontale Asymptote von \(G_{f}\) ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von \(G_{f}\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse.
(3 BE)
Teilaufgabe 1a
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).
