Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\).
Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von \(a\) an.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R\]
\[(\textcolor{#e9b509}{1}|\textcolor{#e9b509}{1})\]
Für genau eine Scharfunktion der Funktionenschar \(f_a\) soll gelten: \(f_{a}(\textcolor{#e9b509}{1}) = \textcolor{#e9b509}{1}\).
\[\begin{align*} f_{a}(\textcolor{#e9b509}{1}) &= \textcolor{#e9b509}{1} \\[0.8em] \textcolor{#e9b509}{1} \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \textcolor{#e9b509}{1}^2 + \frac{1}{2}} &= \textcolor{#e9b509}{1} \\[0.8em] e^{-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}} &= 1 &&| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{\left(e^{-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}}\right)} &= \ln{1} &&| \; \ln{e^x} = x; \; \ln{1} = 0 \\[0.8em] -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2} &= 0 &&| \cdot (-2) \; \text{(optional)} \\[0.8em] a - 1 &= 0 &&| +1 \\[0.8em] a &= 1\end{align*}\]
Für \(a = 1\) enthält der Graph der Scharfunktion \(f_1\) den Punkt \((1|1)\).
