Gegeben sind die Punkte \(A(3|5|5)\) und \(B(1|1|1)\) sowie die Geraden \(g\) und \(h\), die sich in \(B\) schneiden. Die Gerade \(g\) hat den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), die Gerade \(h\) den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Weisen Sie nach, dass \(A\) auf \(g\) liegt.
(1 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Gleichung der Gerade \(g\):
Da sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(B(1|1|1)\) schneiden, kann \(B\) als Aufpunkt für die Gleichung von \(g\) in Parameterform verwendet werden.
Gleichung einer Gerad / Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform
\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.
Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:
\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]
\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]
Punktprobe \(\textcolor{#e9b509}{A(3|5|5)} \in g?\)
\[\textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} \;\Rightarrow \; \begin{cases} \begin{align*} 3 &= 1 + \enspace \lambda \; \Rightarrow \; \lambda = 2 \\ 5 &= 1 + 2\lambda \; \Rightarrow \; \lambda = 2 \\ 5 &= 1 + 2\lambda \; \Rightarrow \; \lambda = 2 \end{align*} \end{cases}\]
Die Punktprobe ergibt die eindeutige Lösung \(\lambda = 2\). Also liegt der Punkt \(A\) auf der Gerade \(g\).
