Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(C\) und \(D\) stochastisch unabhängig sind.
\(C\): „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4."
\(D\): „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3."
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2
Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind stochastisch abhängig, wenn \(P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)\) gilt.
Stochastische (Un)Abhängigkeit von zwei Ereignissen
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *
Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.
Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.
* Oder wenn
\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.
\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.
\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.
Da die Sektoren des Glücksrads gleich groß sind, sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment). Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann mithilfe der Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit erfolgen.
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
Insgesamt gibt es bei zweimaligem Drehen des Glücksrads \(\vert \Omega \vert = 10^2 = 100\) Ergebnisse (mögliche Kombinationen).
Ergebnisse und Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\boldsymbol{C}\)
\(C\): „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4."
\[C = \{(0;0),(0;1),(0;2),(0;3),(1;0),(1;1),(1;2),(2;0),(2;1),(3;0)\}\]
Anzahl der Ergebnisse von \(C\): \(\vert C \vert = 10\)
\[P(C) = \frac{\vert C \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0{,}1\]
Ergebnisse und Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\boldsymbol{D}\)
\(D\): „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3."
\[D =\{(1;2),(2;1),(1;3),(3;1)\}\]
Anzahl der Ergebnisse von \(D\): \(\vert D \vert = 4\)
\[P(D) = \frac{\vert D \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{4}{100} = 0{,}04\]
Ergebnisse und Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\boldsymbol{C \cap D}\)
\[C = \{(0;0),(0;1),(0;2),(0;3),(1;0),(1;1),\textcolor{#e9b509}{(1;2)},(2;0),\textcolor{#e9b509}{(2;1)},(3;0)\}\]
\[D =\{\textcolor{#e9b509}{(1;2)},\textcolor{#e9b509}{(2;1)},(1;3),(3;1)\}\]
\[\Rightarrow \; C \cap D = \{\textcolor{#e9b509}{(1;2)},\textcolor{#e9b509}{(2;1)}\}\]
Anzahl der Ergebnisse von \(C \cap D\): \(\vert C \cap D \vert = 2\)
\[P(C \cap D) = \frac{\vert C \cap D \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{2}{100} = 0{,}02\]
Damit folgt:
\[P(C) \cdot P(D) = 0{,}1 \cdot 0{,}04 = 0{,}004 \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}02 = P(C \cap D)\]
Schlussfolgerung: Die Ereignisse \(C\) und \(D\) sind stochastisch abhängig.
