Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).
Bestimmen Sie \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\[f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}\]
Maximaler Definitionsbereich \(D\) der Funktion \(f\)
Der Nenner der Funktion \(f\) darf nicht null werden.
\[f(x) = \frac{e^x}{\textcolor{#cc071e}{\underbrace{e^x - 2}_{\neq\,0}}}\]
Maximale Definitionsmenge bestimmen
Gebrochenrationale Funktion / Quotient von Funktionen
\[x \mapsto \dfrac{Zähler(x)}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{Nenner(x)}_{\Large{\neq \, 0}}}}\]
Nullstelle(n) des Nenners ausschließen!
Wurzelfunktion
\[x \mapsto \sqrt{\mathstrut\smash{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{\geq\,0}}}}} \\ {}\]
Der Wert des Terms unter der Wurzel (Radikand ) darf nicht negativ sein!
(natürliche) Logarithmusfunktion
\(x \mapsto \ln{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\) bzw. \(x \mapsto \log_{a}{(\,\textcolor{#e9b509}{\underbrace{\dots}_{\Large{>\,0}}}\,)}\)
Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\textcolor{#e9b509}{\mathbb R^{+}}\) definiert!
Nullstelle(n) des Nenners bestimmen:
\[\begin{align*}e^x - 2 &= 0 &&| + 2 \\[0.8em] e^x &= 2 &&| \; \ln \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{(e^x)} &= \ln{2} &&| \; \ln{(e^x)} = x \; (\text{allg.:}\; \log_a{(a^x)} = x) \\[0.8em] x &= \ln{2}\end{align*}\]
\[\Rightarrow \enspace D = \mathbb R \backslash \{\ln{2}\}\]
Schnittpunkt des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse
\[f(\textcolor{#e9b509}{0}) = \frac{e^\textcolor{#e9b509}{0}}{e^\textcolor{#e9b509}{0} - 2} = \frac{1}{1 - 2} = \textcolor{#0087c1}{-1} \enspace \Rightarrow \enspace S_y(\textcolor{#e9b509}{0}|\textcolor{#0087c1}{-1})\]
