Wenn sich ein Spieler vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern er keine „0" erzielt, n-mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term \(5n \cdot 0{,}9^n\) berechnet werden. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Höhe der Auszahlung in Euro beschreibt.
Sind \(n\) und \(n + 1\) zwei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), so sind
\(E_n(X) = 5n \cdot 0{,}9^n\) und
\(E_{n\,+\,1}(X) = 5(n+1) \cdot 0{,}9^{n\,+\,1}\)
die zugehörigen Erwartungswerte für die Auszahlung.
Die Erwartungswerte sollen übereinstimmen:
\[\begin{align*}E_n(X) &= E_{n\,+\,1}(X) \\[0.8em] 5n \cdot 0{,}9^n &= 5(n+1) \cdot 0{,}9^{n\,+\,1} &&| \; a^{r\,+\,s} = a^r \cdot a^s \;\text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] 5n \cdot 0{,}9^n &= 5(n+1) \cdot 0{,}9^n \cdot 0{,}9^1 &&| : 0{,}9^n \\[0.8em] 5n &= 5(n+1) \cdot 0{,}9 &&| : 5 \\[0.8em] n &= (n + 1) \cdot 0{,}9 \\[0.8em] n &= 0{,}9n + 0{,}9 &&| - 0{,}9n \\[0.8em] 0{,}1n &= 0{,}9 &&| \cdot 10 \\[0.8em] n &= 9 \end{align*}\]
Überprüfen: Für \(n = 9\) und \(n = 10\) sollen die Erwartungswerte übereinstimmen, für \(n = 11\) hingegen nicht.
\[\textcolor{#e9b509}{E_9(X)} = 5 \cdot 9 \cdot 0{,}9^9 = \textcolor{#e9b509}{45 \cdot 0{,}9^9}\]
\[\textcolor{#e9b509}{E_{10}(X)} = 5 \cdot 10 \cdot 0{,}9^{10} = 50 \cdot 0{,}9^9 \cdot 0{,}9 = \textcolor{#e9b509}{45 \cdot 0{,}9^9}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{E_{11}(X)} &= 5 \cdot 11 \cdot 0{,}9^{11} = 55 \cdot 0{,}9^{11} = 55 \cdot 0{,}9^9 \cdot 0{,}9^2 \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{44{,}55 \cdot 0{,}9^9}\end{align*}\]
\[\Rightarrow\;\textcolor{#e9b509}{E_9(X) = E_{10}(X)} \textcolor{#cc071e}{\neq E_{11}(X)}\]
Somit ist die Aussage
Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.
richtig.
